Teoría de los campos conceptuales (Gérard Vergnaud)

Se trata de una teoría psicológica del concepto, o mejor dicho, de la conceptualización de lo real; permite localizar y estudiar las filiaciones y las rupturas entre conocimientos desde el punto de vista de su contenido conceptual. Esta teoría permite igualmente analizar la relación entre conceptos en tanto que conocimientos explícitos y los invariantes operatorios implícitos en las conductas del sujeto en situación; la teoría explicita también las relaciones entre significados y significantes.

La teoría de los campos conceptuales es una teoría cognitivista, que pretende proporcionar un marco coherente y algunos principios de base para el estudio del desarrollo y del aprendizaje de competencias complejas, especialmente las que se refieren a las ciencias y las técnicas.
La teoría de los campos conceptuales no es específica de las matemáticas; pero ha sido elaborada primeramente para dar cuenta de procesos de conceptualización progresiva de las estructuras aditivas, multiplicativas, relaciones número-espacio, y del álgebra.

CONCEPTOS Y ESQUEMAS

Un concepto no puede ser reducido a su definición, al menos si se está interesado en su aprendizaje y enseñanza. A través de las situaciones y de los problemas que se pretenden resolver es como un concepto adquiere sentido para el niño.
Si se quiere considerar correctamente la medida de la función adaptativa del conocimiento, se debe conceder un lugar central a las formas que toma en la acción del sujeto. El conocimiento racional es operatorio o no es tal conocimiento.
Se puede distinguir:
1) clases de situaciones para las cuales el sujeto dispone en su repertorio, en un momento dado de su desarrollo y bajo ciertas circunstancias, de competencias necesarias para el tratamiento relativamente inmediato de la situación;
2) clases de situaciones para las cuales el sujeto no dispone de todas las competencias necesarias, lo que le obliga a un tiempo de reflexión y de exploración, de dudas, tentativas abortadas, y le conduce eventualmente al éxito, o al fracaso.
El concepto de “esquema” es interesante para ambas clases de situaciones, pero no funciona de la misma manera en ambos casos. En el primer caso se va a observar para una misma clase de situaciones, conductas muy automatizadas, organizadas por un esquema único; en el segundo caso, se va a observar el esbozo sucesivo de varios esquemas, que pueden entrar en competición y que, para llegar a la solución buscada, deben ser acomodados, separados y recombinados; este proceso se acompaña necesariamente de descubrimientos.
Llamamos “esquema” a la organización invariante de la conducta para una clase de situaciones dada. En los esquemas es donde se debe investigar los conocimientos-en-acto del sujeto, es decir, los elementos cognitivos que permiten a la acción del sujeto ser operatoria.
Las competencias matemáticas son también sostenidas por esquemas organizadores de la
conducta. Tomemos algunos ejemplos elementales:
- el esquema del recuento de una colección pequeña por un niño de 5 años tiene que variar en sus formas cuando se trata de contar bombones, platos sobre una mesa, o personas sentadas de manera dispersa en un jardín; no implica menos una organización invariante, esencial para el funcionamiento del esquema: coordinación de los movimientos de los ojos y gestos del dedo y de la mano en relación a la posición de los objetos, enunciado coordinado de la serie numérica, cardinación del conjunto contado mediante un énfasis tónico o mediante la repetición de la última palabra-número pronunciada: uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete ...siete!
- el esquema de resolución de las ecuaciones de la forma ax+b = c consigue rápidamente un grado elevado de disponibilidad y de fiabilidad en los alumnos de secundaria, principiantes en álgebra, cuando a, b, y c tienen valores numéricos positivos y cuando b<c (este no es el caso de hecho cuando algunos parámetros a, b, c y c-b son negativos. La serie de escrituras efectuadas por los alumnos muestra claramente una organización invariante, que reposa a la vez sobre hábitos aprendidos y sobre teoremas como los siguientes:
“se conserva la igualdad al restar b de los dos lados”
“se conserva la igualdad al dividir por a los dos lados”
El funcionamiento cognitivo del alumno comporta operaciones que se automatizan progresivamente (cambiar de signo cuando se cambia de miembro, aislar x en un lado de la igualdad) y de decisiones conscientes que permiten tener en cuenta valores particulares de las variables de la situación.
La automatización es evidentemente una de las manifestaciones más visibles del carácter invariante de la organización de la acción. Pero una serie de decisiones conscientes puede también constituir el objeto de una organización invariante para una clase de situaciones dadas. Por otra parte, la automatización no impide que el sujeto conserve el control de las condiciones bajo las cuales tal operación es apropiada o no.
En cuanto a los invariantes operatorios, merecen una explicación complementaria puesto que existen fundamentalmente tres tipos lógicos.
- invariantes del tipo “proposiciones”: son susceptibles de ser verdaderos o falsos; los teorías-en-acto son invariantes de este tipo.
1er ejemplo: entre 5 y 7 años, los niños descubren que no es necesario contar el todo para encontrar el cardinal de A ÈB si ya se ha contado A y B. Se puede expresar este conocimiento por un teorema-en-acto:
Card (A ÈB) = Card (A) + Card (B), siempre que AÇ B = Æ.
La ausencia de cuantificador deja entender que este teorema no tiene una validez universal para los niños, sino un alcance solamente local, para pequeñas colecciones por ejemplo.
2º ejemplo: entre 8 y 10 años, con un éxito variable según los individuos, muchos alumnos comprenden que si una cantidad de objetos comprados se multiplica por 2, 3, 4, 5, 10, 100 u otro número simple, entonces el precio es 2, 3, 4, 5, 19, 100 veces mayor. Se puede expresar este conocimiento por un teorema-en-acto, f(nx) = nf(x) para n entero y simple.
- invariantes del tipo “función proposicional”: no son susceptibles de ser verdaderos o falsos, pero constituyen las piezas indispensables para la construcción de proposiciones. Por ejemplo, los conceptos de cardinal y de colección, los de estado inicial, transformación y de relación cuantificada, son indispensables para la conceptualización de las estructuras aditivas.
- invariantes del tipo “argumento”: quien dice función proposicional y proposición dice argumento. En matemáticas, los argumentos pueden ser objetos materiales (el barco está a la derecha del faro), personajes (Pablo es más alto que Céline), números (4+3=7), relaciones (“más grande que” es una relación antisimétrica), e incluso proposiciones (“8 es un divisor de 24” es la recíproca de “24 es un múltiplo de 8”).
Estas distinciones son indispensables para la didáctica porque la transformación de los conceptos-útiles en conceptos-objetos es un proceso decisivo en la conceptualización de lo real. Esta transformación significa entre otras cosas que las funciones proposicionales pueden convertirse en argumentos. La nominalización es una operación lingüística esencial en esta transformación.
Este paréntesis sobre las proposiciones y las funciones proposicionales puede parecer paradójico en un apartado dedicado principalmente a los invariantes operatorios contenidos en un esquema. La primera razón de esta clarificación es que los invariantes operatorios no son de un tipo lógico único y que es necesario por tanto analizar la condición particular de cada uno de ellos. La segunda razón es que un concepto-en-acto no es de hecho un concepto, ni un teorema-en-acto un teorema.
En resumen, la operacionalidad de un concepto debe ser experimentada por medio de situaciones variadas, y el investigador debe analizar una gran variedad de conductas y de esquemas para comprender en qué consiste, desde el punto de vista cognitivo, tal o cual concepto: por ejemplo, el concepto de razón no se comprende sino a través de una diversidad de problemas prácticos y teóricos; igual ocurre con los conceptos de función o de número. Cada uno de estos conceptos comporta en efecto varias propiedades, cuya pertinencia es variable según las situaciones a tratar. Algunas se pueden comprender muy pronto, otras mucho más tarde en el transcurso del aprendizaje. Una aproximación psicológica y didáctica de la formación de conceptos matemáticos, conduce a considerar un concepto como un conjunto de invariantes utilizables en la acción. La definición pragmática de un concepto pone, por tanto, en juego el conjunto de situaciones que constituyen la referencia de sus diferentes propiedades, y el conjunto de los esquemas puestos en juego por los sujetos en estas situaciones.
Un concepto es una tripleta de tres conjuntos:
C (S, I, G)
S: conjunto de situaciones que dan sentido al concepto (la referencia)
I: conjunto de invariantes sobre los cuales reposa la operacionalidad de los esquemas (el
significado)
G: conjunto de las formas lingüísticas y no lingüísticas que permiten representar
simbólicamente el concepto, sus propiedades, las situaciones y los procedimientos de
tratamiento (el significante).
Estudiar el desarrollo y el funcionamiento de un concepto, en el curso del aprendizaje o
durante su utilización, es necesariamente considerar estos tres planos a la vez. No hay en
general biyección entre significantes y significados, ni entre invariantes y situaciones. No se
puede por tanto reducir el significado ni a los significantes, ni a las situaciones.

CAMPOS CONCEPTUALES

La lógica no es un cuadro suficientemente operatorio para dar cuenta de la complejidad
relativa de las tareas y subtareas, de los procedimientos, de las representaciones simbólicas. Es demasiado reductora y pone sobre el mismo plano los objetos matemáticos que, aunque teniendo eventualmente el mismo estatus lógico no plantean los mismos
problemas de conceptualización. En relación a una psicología cognitiva centrada sobre las
estructuras lógicas, como la de Piaget, la teoría de los campos conceptuales aparece más bien como una psicología de los conceptos, incluso aunque el término “estructura” intervenga en la designación del propio campo conceptual considerado: estructuras aditivas, estructuras multiplicativas. En efecto, si la primera entrada de un campo conceptual es la de las situaciones, se puede también identificar una segunda entrada, la de los conceptos y los
teoremas. 

SITUACIONES

Los procesos cognitivos y las respuestas del sujeto son función de las situaciones a las cuales son confrontados.
Retendremos dos ideas principales:
1) la de variedad: existe una gran variedad de situaciones en un campo conceptual dado, y las variables de situación son un medio de generar de manera sistemática el conjunto de las clases posibles;
2) la de la historia: los conocimientos de los alumnos son modelados por las situaciones que
han encontrado y dominado progresivamente, especialmente por las primeras situaciones
susceptibles de dar sentido a los conceptos y a los procedimientos que se les quiere enseñar.
La primera idea orienta hacia el análisis, la descomposición en elementos simples y la combinatoria de los posibles, mientras que la segunda le orienta hacia la búsqueda de situaciones funcionales, casi siempre compuestas de varias relaciones, y cuya importancia relativa está muy ligada a la frecuencia con la que se les encuentra.
Toda situación puede ser reducida a una combinación de relaciones de base con datos conocidos y desconocidos, los cuales corresponden a otras tantas cuestiones posibles. La clasificación de estas relaciones de base y de las clases de problemas que se pueden generar a partir de ellas es un trabajo científico indispensable. Ninguna ciencia se constituye sin un trabajo de clasificación sistemático. Esta clasificación permite además abrir el campo de las posibilidades, y superar el cuadro demasiado limitado de las situaciones habituales de la vida. 
Tomemos el ejemplo de las estructuras aditivas, se pueden identificar seis relaciones de
base, a partir de las cuales es posible engendrar todos los problemas de adición y sustracción de la aritmética ordinaria (Vergnaud, 1981).

RELACIONES ADITIVAS DE BASE

I. La composición de dos medidas en una tercera
II. La transformación (cuantificada) de una medida inicial en una medida final
III. La relación (cuantificada) de comparación entre dos medidas
IV. La composición de dos transformaciones
V. La transformación de una relación
VI. La composición de dos relaciones

Esta clasificación no ha salido perfectamente armada del cerebro de un matemático.
Resulta de consideraciones psicológicas y matemáticas:
- dificultad muy desigual de problemas de estructuras diferentes que se resuelven sin embargo con la misma operación numérica;
- desfase ontogenético en el éxito de las diferentes clases de problemas que se pueden
engendrar a partir de una misma relación; desfase ontogenético de los procedimientos
utilizados, así como de las simbolizaciones matemáticas accesibles a los niños;
- importancia de los conceptos de transformación temporal y de relación en el proceso de
apropiación de las situaciones de adición y de sustracción. La toma en consideración de estos conceptos tiene grandes consecuencias teóricas: conduce de una parte a introducir, al lado del modelo de la ley binaria interna, el de la operación unaria externa, de otra parte a recurrir a los números relativos para caracterizar ciertas operaciones de pensamiento de los niños.
El análisis de las estructuras multiplicativas es profundamente diferente de las estructuras aditivas. Las relaciones de base más simples no son ternarias sino cuaternarias, porque los problemas más simples de multiplicación y de división implican la proporción simple de dos variables una en relación a la otra. 
La clasificación de las situaciones resulta a la vez de consideraciones matemáticas y de
consideraciones psicológicas. Algunas distinciones no son interesantes sino porque implican
diferencias significativas en la manera en la que los alumnos se disponen a tratar las
situaciones diferenciadas de esa manera. 
Una situación didáctica es en primer lugar una puesta en escena interesante y rica. Las
relaciones elementales distinguidas aquí y las clases de problemas que permiten engendrar no presentan, tal cual, sino un interés didáctico moderado, justamente porque son demasiado elementales. Son en primer lugar instrumentos para el análisis de las situaciones y para el análisis de las dificultades conceptuales encontradas por los alumnos. Toda situación compleja es una combinación de relaciones elementales, y no se puede soslayar el análisis de las tareas cognitivas que estas relaciones permiten generar; pero la organización de una situación didáctica en un proyecto colectivo de investigación para la clase supone la consideración a la vez de las funciones epistemológicas de un concepto, de la significación social de los dominios de experiencia a los cuales hace referencia, los juegos de papeles (roles) entre los actores de la situación didáctica, resortes del juego, del contrato y de la transposición. La tesis subyacente a la teoría de los campos conceptuales, sin embargo, es que una buena puesta en escena didáctica se apoya necesariamente sobre el conocimiento de la dificultad relativa de las tareas cognitivas, de los obstáculos que habitualmente se encuentran, del repertorio de procedimientos disponibles, y de las representaciones posibles. La psicología cognitiva es esencial. 

SIGNIFICADOS Y SIGNIFICANTES

Son las situaciones las que dan sentido a los conceptos matemáticos, pero el sentido no está en las situaciones mismas. No está tampoco en las palabras y los símbolos matemáticos. Sin embargo se dice que una representación simbólica, que una palabra o que un enunciado matemático tiene sentido, o varios sentidos, o ningún sentido para tales o cuales individuos; se dice también que una situación tiene sentido o no lo tiene. Entonces, ¿qué es el sentido?. 
El sentido es una relación del sujeto a las situaciones y a los significantes. Más precisamente, son los esquemas evocados en el sujeto individual por una situación o por un significante lo que constituye el sentido de esta situación o de este significante para este sujeto. Los esquemas, es decir las conductas y su organización. 
Una situación dada o un simbolismo particular no evocan en un individuo todos los
esquemas disponibles. Cuando se dice que una tal palabra tiene tal sentido, se reenvía de hecho a un subconjunto de esquemas, operando de este modo una restricción en el conjunto de los esquemas posibles. 
Se plantea sin embargo la cuestión de la función de los significantes en el pensamiento, y
de la naturaleza de los esquemas que organizan el tratamiento de los significantes, en su
comprensión y en su producción. ¿Qué funciones cognitivas es necesario atribuir al lenguaje, y las representaciones simbólicas, en la actividad matemática?
Se considera con certeza que las matemáticas forman un cuerpo de conocimientos que
responden a problemas prácticos y teóricos que se ha planteado la humanidad en el curso de su historia; pero no se responde de este modo sino parcialmente a la cuestión “¿qué son las matemáticas?” Puesto que los significantes y la organización del discurso juegan en ello un papel esencial. Existe por tanto un trabajo teórico y empírico indispensable para clarificar la función del lenguaje y de los restantes significantes. En la teoría de los campos conceptuales, esta función es triple: 
- ayuda a la designación y por tanto a la identificación de los invariantes: objetos,
propiedades, relaciones, teoremas;
- ayuda en el razonamiento y la inferencia;
- ayuda a la anticipación de los efectos y de los fines, a la planificación, y al control de la
acción.
Un esquema es, como hemos visto, una totalidad organizada, que permite de generar una clase de conductas diferentes en función de las características particulares de cada una de las situaciones de la clase a la cual se dirige. Esto es posible porque el esquema comporta:
- invariantes operatorios (conceptos-en-acto y teoremas-en-acto) que pilotan el reconocimiento por el sujeto de los elementos pertinentes de la situación, y la recogida de información sobre la situación a tratar;
- anticipaciones del fin a lograr, de los efectos a esperar y de las etapas intermedias eventuales;
- reglas de acción del tipo si ... entonces ... que permiten generar la serie de acciones del sujeto;
- inferencias (o razonamientos) que permiten “calcular” las reglas y las anticipaciones a partir de las informaciones y del sistema de invariantes operatorios de los que dispone el sujeto.