Didáctica del número

Dentro de los conocimientos matemáticos, el número fue el primero en desarrollarse en tanto representación directa (o casi) de la realidad material (natural).

Queremos recalcar que en tanto producto cultural, de uso social extendido, desde muy temprano los niños y niñas se ven inmersos en ellos, ya sea escuchando cantidades, precios, etc., por lo cual se hace imprescindible comenzar con su enseñanza desde los niveles iniciales (preescolares) proyectándola a lo largo de toda la escolarización. Esta noción se corresponde con la visión sistémica y procesual que postula la escuela francesa y nosotros planteamos como una imperiosa necesidad.

Por lo tanto proyectar la enseñanza comenzando por el campo de los naturales, ya que es el de más fácil conceptualización, requiere no desconocer ni ocultar la existencia de otros campos numéricos dado que las niñas y niños “conocen” números no naturales, evitando así la instalación de obstáculos epistemológicos derivados de tal parcialización.

Concepto de número 

El número en la historia

Siguiendo a Engels, puede considerarse al desarrollo del conocimiento como un proceso de apropiación de la naturaleza. La realidad natural se transforma en una realidad humanizada en función de las distintas necesidades del Hombre y en esa transformación se genera conocimiento. Es preciso que exista un primer “reconocimiento” del objeto natural para luego insertarlo en la lógica de la actividad humana. Su consecuencia es una divergencia cada vez mayor entre el procesamiento del conocimiento cotidiano y las sucesivas elaboraciones conceptuales que se traduce en abstracciones cada vez más complejas. Estos procesos no suelen producirse en secuencia lineal porque están fuertemente condicionados por inevitables dinámicas históricas y sociales propias de cada pueblo, de cada sociedad. 

Existen distintas teorías acerca de cómo el Hombre generó y utilizó el número. Describiremos este proceso a través de etapas:

1. Distinción deuno y muchos. 
2. Necesidad de recuento de pertenencias, que implica establecer una correspondencia uno a uno, entre éstas y un conjunto de igual cantidad de elementos, cuyo representante es el número cardinal correspondiente. 
3. La necesidad de registro, creándose así rótulos y etiquetas que posibilitan organizar las muestras de acuerdo al número de elementos, apareciendo así el aspecto ordinal. 
4. Surgimiento de los sistemas de numeración como herramienta para organizar aquellos rótulos que permitieran otros usos del número. 
5. Acción del conteo, uso de la secuencia ordenada de palabras número en correspondencia uno a uno de los elementos, donde el último de los elementos nombra la clase a la cual pertenece. 

Contextos de significación 

Nos basamos en la distinción de diversas funciones del número como un elemento para conceptualizarlo.

Diferenciamos dos formas de representar cantidades (si bien ambas utilizan el criterio de correspondencia uno a uno, esta relación se establece de diferente manera.): 

Colecciones de muestra: construcción de una colección de muestra para establecer dicha correspondencia que represente la cantidad de elementos.

Representaciones numéricas: representa la cantidad con el último elemento puesto en correspondencia uno a uno. (Nótese que la diferencia radica en que con las colecciones, la cantidad se representa con todos los elementos, mientras en la segunda sólo con el último).

El segundo tipo de correspondencia puede realizarse a través de “palabras–número” o cifras requiriéndose para ello un sistema arbitrario de signos convencional y socialmente establecido.

Aquí aparece una primera dificultad en el proceso de conceptualización del número, distinguir palabras–número y cifras, del número en sí en tanto representación arbitraria y social de una cantidad.

Antes escribíamos sobre las formas de representación de las cantidades, ahora nos referiremos al proceso de cuantificación. 

Si bien vulgarmente se utilizan indistintamente los términos contar y cuantificar, debemos hacer una distinción. Cuantificar es asignarle una medida (cantidad) a una magnitud (extensión), o sea, atribuirle valor a la extensión de una colección, determinar la cantidad de elementos que tiene.

Se puede cuantificar de manera directa o indirecta. Es decir, existen dos formas de cuantificar.

Directamente mediante percepción global (captación directa y exacta de la cantidad, se realiza por lo general frente a cantidades pequeñas), conteo (es un procedimiento largo y exacto) o evaluación global (se aplica a grandes cantidades y es aproximativo).

Contar y calcular

Para comenzar aclaramos que contar y calcular son maneras distintas de establecer relaciones entre cantidades. Donde una de ellas se opone a la otra, en el sentido de que al contar se establece una relación entre elementos de una colección y palabras–número; mientras que al calcular se establece una relación directa entre cantidades, sin pasar por la construcción de colecciones cuyos elementos se cuentan.

El proceso de contar es complejo ya que requiere:

1. Conocer la serie numérica o parte de ella.
2. Establecer la relación biunívoca uno a uno entre los elementos a contar y las palabras–número que se recitan.
3. Identificar el último término enunciado como representante de la cantidad.

Al contar–numerar simplemente se asigna a cada elemento del conjunto una palabra–número que lo identifica. En tanto al enumerar, luego de contar–numerar cada uno de los elementos, la última palabra–número representa la cantidad de elementos de la colección, expresando así su cardinalidad.

Contexto ordinal y cardinal

Otra distinción de contextos que le dan sentido al número, según la función que éste cumpla es la de contexto ordinal y contexto cardinal.
Cuando se pretende ordenar o seriar concentrándose en la posición de un elemento respecto de otro nos referimos al contexto ordinal, y cuando la intención es representar una colección de objetos por el valor de su extensión al contexto cardinal.

Campos numéricos

Hasta ahora hemos tomado como referencia a los números naturales, mas existen otros campos numéricos: enteros, racionales, irracionales, reales (la unión de racionales e irracionales) e imaginarios.
Cada uno de ellos tiene un lugar en el desarrollo histórico del concepto de número íntimamente ligado a problemas que fue necesario resolver. Así la mayoría de los historiadores sostienen que los naturales fueron los primeros en aparecer, por su aspecto cardinal (aunque algunos plantean que en realidad fue por el aspecto ordinal).
Ante las limitaciones de cada campo para resolver nuevos problemas a los que se vieron enfrentadas las distintas culturas se hizo necesaria la conceptualización de nuevos campos (ej. para resolver √-1, se creó el campo de los imaginarios (√-1=i), etc.).

Los sistemas de numeración

El sistema decimal

Se trata de un sistema posicional y polinómico.
Una primera consideración es que existe una gran diferencia que se constituye como problema a la hora de apropiarse del sistema, que refiere a la numeración oral y la escrita.
La primera de ellas tiene una estructura aditiva en tanto la segunda es polinómica.
Basándose en la naturaleza polinómica del sistema, que se describió anteriormente,los niños elaboran estrategias tanto para escribir los números, como para operar con ellos.