Este vertiginoso crecimiento ha sido posible, debido al creciente interés de los matemáticos profesionales en los asuntos de la enseñanza y del aprendizaje, y el segundo, a causa de la estabilidad y madurez que han alcanzado comunidades de investigación que se organizan en torno de grupos académicos con paradigma propio.
Este doble proceso de desarrollo que se nutre de la reflexión matemática al seno de lo didáctico por una parte y de apoyar, por otra, la explicación didáctica con base en la construcción social e individual del conocimiento ha sido una de las principales y más recientes contribuciones de nuestra disciplina: la Matemática Educativa.
las investigaciones que tratan sobre la didáctica del análisis se apoyan en distintas metáforas del aprendizaje, pero que comparten, en algún sentido, ciertos puntos en común con la tesis central que proporciona la epistemología genética relativa al desarrollo del pensamiento. Otra coincidencia consiste en el hecho de que las investigaciones reportadas se han centrado en problemáticas que se ocupan de la matemática relevante en la enseñanza superior.
La línea de investigación que desarrollamos considera como necesidad básica el dotar a la investigación de una aproximación sistémica que permita incorporar las cuatro componentes fundamentales en la construcción del conocimiento; su naturaleza epistemológica, su dimensión sociocultural, los planos de lo cognitivo y los modos de transmisión vía la enseñanza. A esta aproximación múltiple, que en la jerga le nombramos “la cuarta dimensión”, le hemos llamado formalmente el acercamiento socioepistemológico El pensamiento y el lenguaje variacional será entendido como una línea de investigación que, ubicada al seno del acercamiento socioepistemológico, permita tratar la articulación entre la investigación y las prácticas sociales que dan vida a la matemática de la variación y el cambio en los sistemas didácticos.
DESARROLLO DE LA PROPUESTA
Como se puede advertir, el desarrollo del pensamiento y el lenguaje variacional entre los estudiantes precisa de procesos temporalmente prolongadas a juzgar por los tiempos didácticos habituales. Supone, por ejemplo, del dominio de la matemática básica y de los procesos del pensamiento asociados, pero exige simultáneamente de diversas rupturas con estilos del pensamiento prevariacional, como el caso del pensamiento algebraico ampliamente documentado por (Artigue, 1998). Esa ruptura además, no puede ser sostenida exclusivamente al seno de lo educativo con base en un nuevo paradigma de rigor que se induce simplemente de la construcción de los números reales como base de la aritmetización del análisis, ni tampoco puede basarse sólo en la idea de aproximación; sino que debe ayudar también a la matematización de la predicción de los fenómenos de cambio.
Para acceder al pensamiento y lenguaje variacional se precisa entre otras cosas del manejo de un universo de formas gráficas extenso y rico en significados por parte del que aprende. El conocimiento superficial de la recta y la parábola no resultan suficientes para desarrollar las competencias esperadas en los cursos de análisis.
Desde el punto de vista del sistema de enseñanza, tradicionalmente los cursos de precálculo (o de preparación al análisis) se conforman por un repertorio de procedimientos y algoritmos provenientes esencialmente del álgebra y de la geometría analítica, tocando con mayor o menor énfasis el estudio del concepto de función, habitualmente entendido en el sentido de la definición de DirichletBourbaki.
Su enseñanza tiende a sobre valorar los aspectos analíticos y los procedimientos algorítmicos, dejando de lado a los argumentos visuales o a los enfoques numéricos, por no considerarlos, entre otras causas, como procesos plenamente matemáticos. Es decir, la concepción que de la matemática se tenga, se extiende a su vez a la de su enseñanza, independientemente de los estudiantes a los que ésta se dirija.
Empero, el concepto de función devino protagónico hasta que se le concibe como una fórmula, es decir hasta que logró la integración de dos dominios de representación: el álgebra y la geometría.
La presentación habitual de la noción de función se presenta como un procedimiento que se aplica a unos ciertos objetos llamados números; este mismo concepto, el de función, deviene en objeto al ser operado bajo otro proceso como la diferenciación o la integración y así se sigue hasta nociones aun más avanzadas. Hemos constatado que en caso de que se logren incorporar elementos visuales como parte de su actividad matemática al enfrentar problemas, entonces se suele manejar a la función no sólo como objeto, lo que ya es un gran logro, sino que además pueden transitar entre los contextos algebraico, geométrico, numérico, icónico y verbal con cierta versatilidad; en otras palabras, en caso de tener un dominio del contexto geométrico/visual tanto en la algoritmia, la intuición, así como en la argumentación, será posible entonces el tránsito entre las diversas representaciones.
Hipótesis central: previo al estudio del cálculo se precisa de la adquisición de un lenguaje gráfico que posibilite, esencialmente, la transferencia de campos conceptuales virtualmente ajenos a causa de las enseñanzas tradicionales, estableciendo un isomorfismo operativo entre el álgebra básica y el estudio de curvas, mejor aún, entre el lenguaje algebraico y el lenguaje gráfico.
Esta hipótesis ha sido desarrollada tomando las dos siguientes directrices; en primer término se presenta la posibilidad de operar gráficas en analogía con los números o las variables, dando sentido a operaciones fundamentales como las que enunciamos a continuación:
-f(x) y f(-x) Reflexión respecto del eje x y del eje y respectivamente
f(x+a) y f(x-a) Traslación en la dirección del eje x
f(x)+a y f(x)-a Traslación en la dirección del eje y
af(x) Contracción o dilatación respecto del eje y
f ^ -1(x) Reflexión respecto de la recta y = x
1/f(x) Invierte ceros en asíntotas y viceversa, las regiones donde |y|> 1 se mandan hacia |y|< 1 y viceversa, dejando intactos a los puntos sobre las rectas y = 1 e y = 1.
|f(x)| y f(|x|) Respectivamente reflexión de las imágenes negativas al simétrico positivo respecto del eje x y reflexión de sustitución del lado de la gráfica con ordenadas negativas por la reflexión del lado de la gráfica con ordenadas positivas.
El segundo aspecto relevante lo constituye la posibilidad de construir un universo amplio de funciones a partir de tres funciones primitivas de referencias.
- La función identidad, f(x) = x.
- La función exponencial, f(x) = a^x.
- La función sinusoidal, f(x) = senx.
Todas ellas son la base para construir las funciones elementales en el sentido de Cauchy. Respectivamente ellas sirven para construir gráficamente, operando a las gráficas, a las funciones algebraicas, logarítmicas, exponenciales y trigonométricas. Para todo ello es necesario operar algebraicamente a fin de obtener la gráfica de las funciones involucradas para que finalmente sean comparadas y estar en condiciones de resolver de este modo los sistemas de ecuaciones a que haya lugar. Así mismo, para buscar los extremos de funciones como la siguiente;
x/ (ax^2+b) tomando a y b positivos.
Logramos avanzar en la construcción del puente entre contextos, pues la tarea en el contexto gráfico sirve de guía a la sintaxis algebraica, de modo que esta refuerza su significado.
LA PREDICCIÓN, EL BINOMIO DE NEWTON Y LA SERIE DE TAYLOR
Con la predicción de los fenómenos de flujo continuo en la naturaleza, es posible anunciar, anticipar su estado ulterior. Pues conociendo ciertos valores iniciales de un sistema en evolución, sabremos la forma en la que éste progresa. Veremos enseguida la nitidez de esta idea en dos situaciones específicas; la primera trata del estudio de la cinemática de una partícula que se desplaza rectilíneamente; situación en la que se precisa de una predicción de largo alcance en ámbitos de variación continua, y la segunda, que se ocupa del examen del planteamiento y resolución de la ecuación de la cuerda vibrante; fenómeno que se refiere a la predicción de corto alcance en ámbitos de variación continua. Iniciemos pues con el antecedente fundamental de la matematización de ambos fenómenos, con el binomio de Newton.
Desde nuestro punto de vista, la noción de predicción se construye socialmente a partir de las vivencias y experiencias cotidianas de los individuos y de los grupos sociales.
El objeto matemático, binomio de Newton, se presenta como una entidad que emerge progresivamente del sistema de prácticas socialmente compartidas ligadas a la resolución de una clase de situaciones que precisan de la predicción. Para ello habrá que considerar tanto la diversidad de contextos en los que puede suceder la variación, como la variedad de fenómenos estudiados con estrategias similares. En su momento, este programa newtoniano de investigación llevó al surgimiento de una progresiva cadena de elaboraciones teóricas, cada vez más abstractas, que culmina, por así decirlo con el programa lagrangiano donde emerge la noción de función analítica.
Estudiemos pues esta situación en un caso conocido. Supongamos que tenemos los valores iniciales (en el tiempo t = 0), tanto de la posición s(0) = s0, como de la velocidad v(0) = v0, y la aceleración a(0) = a0 de una partícula que se desplaza sobre una recta. Para cualquier instante posterior t la posición s(t ), la velocidad v(t ) y la aceleración a(t ) estarán dadas mediante el instrumento para predecir, a saber, la serie de Taylor,
f(x) = f(0) + f' (0)x + f" (0)x 2 /2! + ...
Debido a que el tratamiento didáctico que le acompaña exhibe a la serie de Taylor más como un resultado de naturaleza teórica, que requiere para su deducción de principios propios del análisis matemático como el axioma de completez en alguna de sus versiones y de los teoremas de los medios. Hoy contamos con diversas presentaciones de estos resultados que bien podríamos llamar de naturaleza constructivista.
En lo que sigue, sólo examinamos dos problemas típicos de las ecuaciones: el problema del decaimiento radioactivo y el problema de la determinación de la ecuación de onda.
CONCLUSIONES
La enseñanza y el aprendizaje de situaciones variacionales plantean un gran número de problemas no triviales. Cada concepto avanzado que se desea enseñar, suele apoyarse en conceptos más elementales y se resiste al aprendizaje si no se antecede por un sólido entendimiento de los conceptos previos.
Este proceso de cambio se registra en la variación de las variables y requiere para su tratamiento del reconocimiento de aquello que hace posible anticipar a los comportamientos en la predicción de corto alcance en ámbitos de variación tanto discreta como continua.
Por su parte, el vínculo entre los procesos predictivos de corto y largo alcance en ámbitos discretos y continuos, se sustenta por su parte en otro mecanismo de funcionamiento en la construcción de conocimiento: el carácter hereditario del cambio. Con lo cual queremos decir que el estado ulterior del fenómeno de variación depende completamente de las circunstancias que caracterizan al estado de facto, la evolución de un sistema está determinado completamente por sus variaciones primeras. Este proceso de construcción del instrumento para predecir permite mirar a la variación continua representándola en el contexto matemático conduce de la idea de predicción hacia la noción matemática de lo analítico.
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