La escuela y la universidad, en su interacción con la sociedad, deben formar personas con competencias para identificar, interpretar, modelar y resolver las situaciones que se les presentan. Esto implica preparar a los alumnos para resolver problemas y tratar la información que reciben del medio, de manera que sean capaces de reconocer las estrategias para su solución y favorecer un mejor entendimiento e interpretación de la realidad.
En este contexto, en el que nuestros alumnos merecen y necesitan la mejor formación matemática posible, el énfasis en la educación se encuentra orientado hacia el desarrollo del pensamiento matemático a partir de situaciones problemáticas significativas para los estudiantes.
El estudio de las variables, las funciones y el cálculo diferencial, encarados desde el pensamiento variacional, son un campo de acción y formación permanente en la educación matemática.
Teniendo en cuenta lo esperado para la actividad matemática escolar, en cuanto a la superación de una enseñanza rígida basada en la presentación de contenidos fragmentados, favoreciendo un enfoque integrador, que recupera las ideas en cada nivel para ampliarlas y profundizarlas, que hace hincapié en la comprensión de los conceptos, los distintos tipos de representaciones, la creación de modelos matemáticos y la resolución de problemas, que busca un pasaje gradual de una enseñanza intuitiva y empírica, a una etapa en que los alumnos comienzan a configurar formas de razonamiento propias del pensamiento formal; encontramos que el tratamiento de situaciones referidas a fenómenos de variación y cambio constituyen un eje que permite desarrollar y modelar situaciones propiamente matemáticas, de las demás ciencias como así también de la vida cotidiana y que involucra conceptos y procedimientos relacionados entre sí y que, por su nivel de complejidad pueden y requieren ser desarrollados en diferentes niveles de escolaridad.
LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO. DESARROLLO DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO
Los conceptos básicos sobre los cuales se construye la matemática de la variación y el cambio son el de variable y el de función. En niveles superiores, las herramientas que proporciona el cálculo permiten encontrar las leyes que describen esos cambios, medirlos y predecirlos. Durante los siglos XVI y XVII, dada la necesidad de resolver problemas de movimiento de los astros, el flujo de los líquidos, el movimiento de un cuerpo, entre otros, aparecieron nuevos métodos matemáticos para su resolución.
De este modo las variables y funciones pasaron de ser modelos matemáticos que reflejan la variación concreta y las relaciones entre las variables, a conceptos matemáticos abstractos distantes de los fenómenos del movimiento que les dieron origen. Esta formalización se ha trasladado a la enseñanza, la cual se centra, por lo general en exceso, en el estudio de las ecuaciones que las definen, valorando la algoritmización y los métodos analíticos por encima del desarrollo de habilidades propias del pensamiento matemático.
El tratamiento de situaciones relacionadas con la variación y el cambio puede favorecer la comprensión de las funciones, propiciando a su vez una mejor introducción a temas específicos del cálculo, como el concepto de derivada, ya que implica el desarrollo del pensamiento variacional.
La construcción de conceptos relacionados con la variación es un proceso lento que presenta dificultades ya que supone el dominio e integración de diferentes conceptos, algunos elementales, otros más avanzados, debiendo articularlos bajo diferentes contextos de representación (coloquial, gráfico, numérico y analítico) e incluyendo procesos avanzados del pensamiento como abstracción, justificación, visualización, estimación, razonamiento. Implica, por un lado, el manejo de los números (naturales, enteros, racionales, reales y complejos) y las magnitudes; y por otro lado, las representaciones gráficas para magnitudes continuas. Requiere además de la comprensión de procesos complejos como la noción de variación, la noción de variable y el paso al límite.
Las clases deben estar dirigidas primordialmente a que estudien y modelen fenómenos de cambio.
TRATAMIENTO DIDÁCTICO
La matemática es una poderosa herramienta para la modelización de fenómenos. Los Principios y Estándares para la Educación Matemática (NCTM, 2000), establecen que los alumnos de todos los niveles deberían tener oportunidad de modelizar matemáticamente una amplia variedad de fenómenos, de manera apropiada según el nivel.
El concepto de función es una de las principales nociones de la matemática. Su enseñanza es uno de los aspectos que unifica el saber matemático. Desde los primeros ciclos se va insertando en el estudio de los distintos contenidos, hasta llegar al tratamiento de las funciones reales de variable real, que servirán de sustento para el estudio del cálculo infinitesimal.
Las distintas funciones describen situaciones muy diversas y se constituyen en una fuente muy importante para el estudio de numerosos problemas cuyo tratamiento exige la utilización de conceptos de la teoría de números, las mediciones, la geometría, la estadística, el cálculo de probabilidades y las descripciones de hechos surgidos experimentalmente.
Las funciones numéricas (tema de estudio de la matemática escolar y del cálculo diferencial e integral) están relacionadas con el álgebra, a través de la ecuación, con la geometría, por la gráfica de la ecuación, con los números, por la correspondencia entre los mismos y con la variación a través de la idea de cambio de una variable con respecto a la otra.
El estudio del cambio se formaliza en Análisis, al encarar el estudio de la derivada.
Aparecen dos formas de modelar situaciones en las que interviene el tiempo. La primera cuando se considera el tiempo como una magnitud continua. La otra forma de modelar una situación en la que interviene el tiempo se presenta cuando se observa la situación en instantes espaciados de tiempo.
Teniendo en cuenta lo esperado para la actividad matemática escolar, en cuanto a la superación de una enseñanza rígida basada en la presentación de contenidos fragmentados, favoreciendo un enfoque integrador, que recupera las ideas en cada nivel para ampliarlas y profundizarlas, que hace hincapié en la comprensión de los conceptos, los distintos tipos de representaciones, la creación de modelos matemáticos y la resolución de problemas, que busca un pasaje gradual de una enseñanza intuitiva y empírica, a una etapa en que los alumnos comienzan a configurar formas de razonamiento propias del pensamiento formal; encontramos que el tratamiento de situaciones referidas a fenómenos de variación y cambio constituyen un eje que permite desarrollar y modelar situaciones propiamente matemáticas, de las demás ciencias como así también de la vida cotidiana y que involucra conceptos y procedimientos relacionados entre sí y que, por su nivel de complejidad pueden y requieren ser desarrollados en diferentes niveles de escolaridad.
LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO. DESARROLLO DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO
Los conceptos básicos sobre los cuales se construye la matemática de la variación y el cambio son el de variable y el de función. En niveles superiores, las herramientas que proporciona el cálculo permiten encontrar las leyes que describen esos cambios, medirlos y predecirlos. Durante los siglos XVI y XVII, dada la necesidad de resolver problemas de movimiento de los astros, el flujo de los líquidos, el movimiento de un cuerpo, entre otros, aparecieron nuevos métodos matemáticos para su resolución.
De este modo las variables y funciones pasaron de ser modelos matemáticos que reflejan la variación concreta y las relaciones entre las variables, a conceptos matemáticos abstractos distantes de los fenómenos del movimiento que les dieron origen. Esta formalización se ha trasladado a la enseñanza, la cual se centra, por lo general en exceso, en el estudio de las ecuaciones que las definen, valorando la algoritmización y los métodos analíticos por encima del desarrollo de habilidades propias del pensamiento matemático.
El tratamiento de situaciones relacionadas con la variación y el cambio puede favorecer la comprensión de las funciones, propiciando a su vez una mejor introducción a temas específicos del cálculo, como el concepto de derivada, ya que implica el desarrollo del pensamiento variacional.
La construcción de conceptos relacionados con la variación es un proceso lento que presenta dificultades ya que supone el dominio e integración de diferentes conceptos, algunos elementales, otros más avanzados, debiendo articularlos bajo diferentes contextos de representación (coloquial, gráfico, numérico y analítico) e incluyendo procesos avanzados del pensamiento como abstracción, justificación, visualización, estimación, razonamiento. Implica, por un lado, el manejo de los números (naturales, enteros, racionales, reales y complejos) y las magnitudes; y por otro lado, las representaciones gráficas para magnitudes continuas. Requiere además de la comprensión de procesos complejos como la noción de variación, la noción de variable y el paso al límite.
Las clases deben estar dirigidas primordialmente a que estudien y modelen fenómenos de cambio.
TRATAMIENTO DIDÁCTICO
La matemática es una poderosa herramienta para la modelización de fenómenos. Los Principios y Estándares para la Educación Matemática (NCTM, 2000), establecen que los alumnos de todos los niveles deberían tener oportunidad de modelizar matemáticamente una amplia variedad de fenómenos, de manera apropiada según el nivel.
El concepto de función es una de las principales nociones de la matemática. Su enseñanza es uno de los aspectos que unifica el saber matemático. Desde los primeros ciclos se va insertando en el estudio de los distintos contenidos, hasta llegar al tratamiento de las funciones reales de variable real, que servirán de sustento para el estudio del cálculo infinitesimal.
Las distintas funciones describen situaciones muy diversas y se constituyen en una fuente muy importante para el estudio de numerosos problemas cuyo tratamiento exige la utilización de conceptos de la teoría de números, las mediciones, la geometría, la estadística, el cálculo de probabilidades y las descripciones de hechos surgidos experimentalmente.
Las funciones numéricas (tema de estudio de la matemática escolar y del cálculo diferencial e integral) están relacionadas con el álgebra, a través de la ecuación, con la geometría, por la gráfica de la ecuación, con los números, por la correspondencia entre los mismos y con la variación a través de la idea de cambio de una variable con respecto a la otra.
El estudio del cambio se formaliza en Análisis, al encarar el estudio de la derivada.
Aparecen dos formas de modelar situaciones en las que interviene el tiempo. La primera cuando se considera el tiempo como una magnitud continua. La otra forma de modelar una situación en la que interviene el tiempo se presenta cuando se observa la situación en instantes espaciados de tiempo.
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