El concepto de función, tal y como es definido actualmente en Matemática, ha ido evolucionando a lo largo de más de 2000 años.
Luisa Ruiz Higueras organizó el análisis histórico y posteriormente identifica las concepciones predominantes en distintos períodos de la evolución de esta noción. Ellas son:
- La función como variación
Establecieron relaciones sistemáticas entre las variaciones de las causas y los efectos: los
fenómenos sujetos al cambio, tales como el calor, la luz, la distancia, la velocidad, etc., pueden poseer distintos grados de intensidad y cambiar continuamente entre ciertos límites dados.
La función como variación es la concepción predominante en este período, concepción que perdura por largo tiempo.
- La función como proporción
La búsqueda de proporcionalidad era la relación privilegiada entre magnitudes variables, es decir, la variabilidad atada a las magnitudes físicas, las cuales se consideran diferentes a las matemáticas.
Este período está marcado por el predominio de una concepción estática: la función como proporción, concepción que se ha mantenido en matemáticos tales como Oresme o Galileo.
Nicolás Oresme ya en el S. XIV utiliza el grafismo para representar los cambios y así describirlos y compararlos. Se vale de segmentos para representar las intensidades de una cualidad de una determinada magnitud continua que depende de otra magnitud continua. Estas gráficas representaban las relaciones desde lo cualitativo más que desde lo cuantitativo, pues los gráficos se consideraban como modelos geométricos de las relaciones y no necesitaban representar fielmente dichas relaciones.
La dependencia se representaba globalmente por toda la figura, predominando entonces la concepción de función como gráfica.
Durante el período que abarca los siglos XV – XVI se distinguen dos direcciones fundamentales de desarrollo de la matemática: un perfeccionamiento del simbolismo algebraico y la formación de la trigonometría como una rama particular.
Comienza a formarse la geometría analítica como un método de expresión de la relaciones numéricas establecidas entre determinadas propiedades de objetos geométricos, utilizando esencialmente el método de las coordenadas.
Se sostiene por primera vez la idea de que una ecuación en x e y es un medio para introducir la dependencia entre dos cantidades variables.
La concepción dominante, la función como curva, hace que surja el segundo obstáculo en la evolución de la noción de función, cuando se asocia la gráfica con la trayectoria de puntos en movimiento y no con conjuntos de puntos que satisfacen condiciones en una relación funcional.
En la definición que propone Euler del concepto de función, reemplaza el término cantidad utilizado hasta ese momento por el de expresión analítica:
Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier
forma que sea, de esta cantidad y de números o cantidades constantes.(Euler, cit por D
´Hombres, cit. Por Ruiz Higueras, 1998)
Posteriormente, Lagrange amplía la noción de función a toda expresión de cálculo.
Esta concepción se constituye en obstáculo para la evolución de la noción de función en relación con sus ideas de dependencia y variabilidad.
A partir del problema de la cuerda vibrante de Euler, surge la noción de correspondencia general:
se dice que “una cantidad es función de otra u otras”, aunque no se conozca por qué operaciones atravesar para llegar de una a la otra. Más tarde, Euler se ve en la necesidad de considerar funciones más generales que las funciones analíticas: las funciones arbitrarias en las cuales si x designa una cantidad variable, entonces todas las otras cantidades que dependen de x, no importa de qué manera, son llamadas funciones de x (Euler, cit. Por Ruiz Higueras, 1998, p.129).
Continúa el uso de los ejes cartesianos y aparece una nueva representación: los diagramas de Venn.
G Ì AxB, xÎA, yÎB tal que (x,y) Î G.
Las representaciones utilizadas son las de la teoría conjuntista y se concibe que: una relación funcional está formada por pares de elementos así como un conjunto está formado por elementos individuales. En esta descripción, clara, precisa y estática ya no hay la menor sugerencia a las cantidades que fluyen engendrando magnitudes variables, ni la menor referencia a puntos moviéndose sobre curvas, ni aparece la vieja y sugestiva idea de variabilidad.
La concepción dominante es entonces la de función como terna, que es considerada como un obstáculo ya que, en la intención de lograr mayor precisión y rigor matemático, se pone de relieve una concepción estática: una función es una colección de pares ordenados que pertenecen a una relación. Se oculta el carácter dinámico de la asignación entre variables.
En las primeras definiciones del concepto de función las nociones centrales eran la variación y la dependencia; la correspondencia estaba presente pero de forma implícita. Después, cuando nos aproximamos a las definiciones modernas, vemos cómo desaparece gradualmente la variación, y después la dependencia, conduciéndonos finalmente a una pura correspondencia.
Las primeras concepciones de función surgieron de una visión cualitativa de problemas relacionados con el movimiento de los cuerpos y todos tenían como variable independiente el tiempo. Más tarde estos mismos problemas se estudiaron de forma cuantitativa y tomaron un status más significativo con el cálculo diferencial. Luego aparece la noción de función como expresión analítica y los problemas que se presentan están vinculados con la posibilidad de expresar todo tipo de funciones por medio de desarrollos en series.
Vemos que los problemas han pasado de un plano ligado a fenómenos de la realidad, a un plano estrictamente matemático, sin permanecer necesariamente dentro de éste.
LA NOCION DE FUNCION EN LOS CONTENIDOS CURRICULARES Y LOS LIBROS DE TEXTO
El análisis de los contenidos curriculares y de los libros de texto nos permite identificar las
concepciones del concepto de función que subyace y que, de alguna manera, contribuyen a la formación de las concepciones de los alumnos.
Tanto los libros de texto como los programas oficiales adaptan los objetos matemáticos a ciertas exigencias que precisa todo saber que se desea incluir en el sistema de enseñanza, las que le provocan transformaciones.
Algunas de las exigencias a las que nos referimos son las siguientes (Ruiz Higueras, 1998):
- dividirlo en campos de saber delimitados, dando lugar a un fraccionamiento y autonomización de los saberes parciales;
- definir una progresión ordenada en el tiempo, lo que implica una programación de los aprendizajes;
- verificar la conformidad entre la progresión y los conocimientos de los alumnos, lo que se expresa en objetivos o expectativas de logro y que implica la necesidad de evaluación;
- la explicitación de algunas nociones matemáticas que se emplearán como herramientas para resolver problemas, lo que implica su introducción como objetos de estudio.
En varios libros de texto, el concepto de función aparece como caso particular del concepto de relación y éste es definido a partir de algunos conceptos elementales de la teoría de conjuntos. Para los impulsores de esta ideología conjuntista el verdadero problema de la enseñanza de la matemática es el del rigor y la formalización. Así, en muchos de los libros de texto el concepto de función aparece como un objeto estático y acabado. Vemos también que, en muchos casos, primero se formaliza el conocimiento a enseñar y luego se lo aplica en la resolución de ejercicios que, en general, están construidos exclusivamente para la aplicación directa del concepto aprendido, sin ningún tipo de transformación.
Íntimamente ligado al concepto de función de variable real, encontramos, tanto en algunos programas como en textos escolares actuales, las definiciones formales de dominio e imagen de una función, seguidas de una serie de ejercicios para determinar dominio e imagen, no obstante, por el tipo de actividad que se propone parece ignorarse porqué y para qué es necesario calcular el dominio y la imagen de una función.
Uno de los conceptos constitutivos de la noción de función entendida como herramienta apta para modelizar fenómenos de cambio es, como ya dijimos, la noción de dependencia. La noción de dependencia implica la existencia de un vínculo entre cantidades y conlleva la idea de que un cambio en una de las cantidades tendrá efecto sobre las otras. Pero la noción de dependencia es difícilmente identificable sin otra noción que constituye, desde nuestro punto de vista, el verdadero punto de partida del concepto de función: la variabilidad. En efecto, el único medio de percibir que una cosa depende de otra es hacer variar cada una por vez y constatar el efecto de la variación.
CONCEPCIONES DE LOS ALUMNOS RESPECTO DE LA NOCIÓN DE FUNCIÓN
Varios especialistas han realizado investigaciones con el propósito fue identificar distintas
concepciones relativas a la noción de función.
Luisa Ruiz Higueras2 llevó a cabo una investigación para la cual aplicó un cuestionario a una muestra de alumnos de entre 14 y 18 años.
Las definiciones que desarrollaron los alumnos describen los usos que han hecho y muestran que conciben la función como un cierto procedimiento.
En sus conclusiones sobre las definiciones Ruiz Higueras expresa:
“Nuestros alumnos de secundaria manifiestan en general una concepción de la noción de función como un procedimiento algorítmico de cálculo...Podemos decir que sus definiciones no determinan el objeto función, sino las relaciones que han mantenido con él”
En muy pocos casos los alumnos consideran la función como transformación de magnitudes ariables. Sin embargo, las situaciones de variación que consideran los alumnos en tales casos corresponden al contexto geométrico, en el que las transformaciones o cambios de forma se aprecian de modo intuitivo.
Los alumnos, al resolver los problemas intentan determinar cómo varía una situación sin analizar ni precisar qué varía en esa situación.
¿Por qué los alumnos no tienen en cuenta la importancia del dominio para otorgar significación a las expresiones algebraicas obtenidas, aún cuando han dedicado múltiples cálculos a la determinación de dominios?
En este sentido, Freudenthal (1983) afirma: “el verdadero origen de las ideas puede quedar atascado por los automatismos”
Ruiz Higueras(1998) concluye:
“... tanto se ha descompuesto el objeto función en segmentos para su enseñanza que el alumnos no logra unificarlos dándoles una significación global. El alumno ha visto muchos objetos allí donde sólo debía existir uno”
La fórmulas algebraicas son visualizadas como conjunto de técnicas eficaces para encontrar el valor de las incógnitas, esta concepción elimina el sentido de variabilidad, movilizando incógnitas en lugar de variables.
Teniendo en cuenta el análisis de las respuestas de los alumnos al conjunto de situaciones propuesta, la autora ha identificado distintos tipos de obstáculos, como por ejemplo:
Las técnicas algebraicas desarrolladas para traducir “en ecuación” los datos de determinados problemas a través de la movilización de “incógnitas” pueden constituir un obstáculo para el desarrollo de las nociones de variable y de variabilidad, elementos imprescindibles para el pensamiento funcional.
El tratamiento dado a fórmulas geométricas o físicas, tales como S = b . h, o bien e = v . t sólo se centra en su aspecto mostrativo (cómo se relacionan las variables) mientras no consideran el análisis del dominio de variabilidad (qué cambia).
Las técnicas asociadas a la proporcionalidad se pueden constituir en obstáculo para desarrollar el pensamiento funcional.
La economía que ofrecen los números naturales o enteros en el cálculo se puede constituir en obstáculo para el conocimiento de las funciones de variable real, restringiendo la noción de función exclusivamente a la de sucesión.
Otras.
ALGUNAS ACTIVIDADES PARA LA ENSEÑANZA DE LA NOCIÓN DE FUNCIÓN
Durante el período que abarca los siglos XV – XVI se distinguen dos direcciones fundamentales de desarrollo de la matemática: un perfeccionamiento del simbolismo algebraico y la formación de la trigonometría como una rama particular.
- La función como curva
Comienza a formarse la geometría analítica como un método de expresión de la relaciones numéricas establecidas entre determinadas propiedades de objetos geométricos, utilizando esencialmente el método de las coordenadas.
Se sostiene por primera vez la idea de que una ecuación en x e y es un medio para introducir la dependencia entre dos cantidades variables.
La concepción dominante, la función como curva, hace que surja el segundo obstáculo en la evolución de la noción de función, cuando se asocia la gráfica con la trayectoria de puntos en movimiento y no con conjuntos de puntos que satisfacen condiciones en una relación funcional.
- La función como expresión analítica
En la definición que propone Euler del concepto de función, reemplaza el término cantidad utilizado hasta ese momento por el de expresión analítica:
Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier
forma que sea, de esta cantidad y de números o cantidades constantes.(Euler, cit por D
´Hombres, cit. Por Ruiz Higueras, 1998)
Posteriormente, Lagrange amplía la noción de función a toda expresión de cálculo.
Esta concepción se constituye en obstáculo para la evolución de la noción de función en relación con sus ideas de dependencia y variabilidad.
- La función como correspondencia arbitraria: aplicación
A partir del problema de la cuerda vibrante de Euler, surge la noción de correspondencia general:
se dice que “una cantidad es función de otra u otras”, aunque no se conozca por qué operaciones atravesar para llegar de una a la otra. Más tarde, Euler se ve en la necesidad de considerar funciones más generales que las funciones analíticas: las funciones arbitrarias en las cuales si x designa una cantidad variable, entonces todas las otras cantidades que dependen de x, no importa de qué manera, son llamadas funciones de x (Euler, cit. Por Ruiz Higueras, 1998, p.129).
Continúa el uso de los ejes cartesianos y aparece una nueva representación: los diagramas de Venn.
- La función como terna
G Ì AxB, xÎA, yÎB tal que (x,y) Î G.
Las representaciones utilizadas son las de la teoría conjuntista y se concibe que: una relación funcional está formada por pares de elementos así como un conjunto está formado por elementos individuales. En esta descripción, clara, precisa y estática ya no hay la menor sugerencia a las cantidades que fluyen engendrando magnitudes variables, ni la menor referencia a puntos moviéndose sobre curvas, ni aparece la vieja y sugestiva idea de variabilidad.
La concepción dominante es entonces la de función como terna, que es considerada como un obstáculo ya que, en la intención de lograr mayor precisión y rigor matemático, se pone de relieve una concepción estática: una función es una colección de pares ordenados que pertenecen a una relación. Se oculta el carácter dinámico de la asignación entre variables.
En las primeras definiciones del concepto de función las nociones centrales eran la variación y la dependencia; la correspondencia estaba presente pero de forma implícita. Después, cuando nos aproximamos a las definiciones modernas, vemos cómo desaparece gradualmente la variación, y después la dependencia, conduciéndonos finalmente a una pura correspondencia.
Las primeras concepciones de función surgieron de una visión cualitativa de problemas relacionados con el movimiento de los cuerpos y todos tenían como variable independiente el tiempo. Más tarde estos mismos problemas se estudiaron de forma cuantitativa y tomaron un status más significativo con el cálculo diferencial. Luego aparece la noción de función como expresión analítica y los problemas que se presentan están vinculados con la posibilidad de expresar todo tipo de funciones por medio de desarrollos en series.
Vemos que los problemas han pasado de un plano ligado a fenómenos de la realidad, a un plano estrictamente matemático, sin permanecer necesariamente dentro de éste.
LA NOCION DE FUNCION EN LOS CONTENIDOS CURRICULARES Y LOS LIBROS DE TEXTO
El análisis de los contenidos curriculares y de los libros de texto nos permite identificar las
concepciones del concepto de función que subyace y que, de alguna manera, contribuyen a la formación de las concepciones de los alumnos.
Tanto los libros de texto como los programas oficiales adaptan los objetos matemáticos a ciertas exigencias que precisa todo saber que se desea incluir en el sistema de enseñanza, las que le provocan transformaciones.
Algunas de las exigencias a las que nos referimos son las siguientes (Ruiz Higueras, 1998):
- dividirlo en campos de saber delimitados, dando lugar a un fraccionamiento y autonomización de los saberes parciales;
- definir una progresión ordenada en el tiempo, lo que implica una programación de los aprendizajes;
- verificar la conformidad entre la progresión y los conocimientos de los alumnos, lo que se expresa en objetivos o expectativas de logro y que implica la necesidad de evaluación;
- la explicitación de algunas nociones matemáticas que se emplearán como herramientas para resolver problemas, lo que implica su introducción como objetos de estudio.
En varios libros de texto, el concepto de función aparece como caso particular del concepto de relación y éste es definido a partir de algunos conceptos elementales de la teoría de conjuntos. Para los impulsores de esta ideología conjuntista el verdadero problema de la enseñanza de la matemática es el del rigor y la formalización. Así, en muchos de los libros de texto el concepto de función aparece como un objeto estático y acabado. Vemos también que, en muchos casos, primero se formaliza el conocimiento a enseñar y luego se lo aplica en la resolución de ejercicios que, en general, están construidos exclusivamente para la aplicación directa del concepto aprendido, sin ningún tipo de transformación.
Íntimamente ligado al concepto de función de variable real, encontramos, tanto en algunos programas como en textos escolares actuales, las definiciones formales de dominio e imagen de una función, seguidas de una serie de ejercicios para determinar dominio e imagen, no obstante, por el tipo de actividad que se propone parece ignorarse porqué y para qué es necesario calcular el dominio y la imagen de una función.
Uno de los conceptos constitutivos de la noción de función entendida como herramienta apta para modelizar fenómenos de cambio es, como ya dijimos, la noción de dependencia. La noción de dependencia implica la existencia de un vínculo entre cantidades y conlleva la idea de que un cambio en una de las cantidades tendrá efecto sobre las otras. Pero la noción de dependencia es difícilmente identificable sin otra noción que constituye, desde nuestro punto de vista, el verdadero punto de partida del concepto de función: la variabilidad. En efecto, el único medio de percibir que una cosa depende de otra es hacer variar cada una por vez y constatar el efecto de la variación.
CONCEPCIONES DE LOS ALUMNOS RESPECTO DE LA NOCIÓN DE FUNCIÓN
Varios especialistas han realizado investigaciones con el propósito fue identificar distintas
concepciones relativas a la noción de función.
Luisa Ruiz Higueras2 llevó a cabo una investigación para la cual aplicó un cuestionario a una muestra de alumnos de entre 14 y 18 años.
Las definiciones que desarrollaron los alumnos describen los usos que han hecho y muestran que conciben la función como un cierto procedimiento.
En sus conclusiones sobre las definiciones Ruiz Higueras expresa:
“Nuestros alumnos de secundaria manifiestan en general una concepción de la noción de función como un procedimiento algorítmico de cálculo...Podemos decir que sus definiciones no determinan el objeto función, sino las relaciones que han mantenido con él”
En muy pocos casos los alumnos consideran la función como transformación de magnitudes ariables. Sin embargo, las situaciones de variación que consideran los alumnos en tales casos corresponden al contexto geométrico, en el que las transformaciones o cambios de forma se aprecian de modo intuitivo.
Los alumnos, al resolver los problemas intentan determinar cómo varía una situación sin analizar ni precisar qué varía en esa situación.
¿Por qué los alumnos no tienen en cuenta la importancia del dominio para otorgar significación a las expresiones algebraicas obtenidas, aún cuando han dedicado múltiples cálculos a la determinación de dominios?
En este sentido, Freudenthal (1983) afirma: “el verdadero origen de las ideas puede quedar atascado por los automatismos”
Ruiz Higueras(1998) concluye:
“... tanto se ha descompuesto el objeto función en segmentos para su enseñanza que el alumnos no logra unificarlos dándoles una significación global. El alumno ha visto muchos objetos allí donde sólo debía existir uno”
La fórmulas algebraicas son visualizadas como conjunto de técnicas eficaces para encontrar el valor de las incógnitas, esta concepción elimina el sentido de variabilidad, movilizando incógnitas en lugar de variables.
Teniendo en cuenta el análisis de las respuestas de los alumnos al conjunto de situaciones propuesta, la autora ha identificado distintos tipos de obstáculos, como por ejemplo:
Para nosotros, uno de los objetivos esenciales de la enseñanza de la matemática es, precisamente, que lo que se enseña esté cargado de significado y tenga sentido para el alumno. Pensamos que para generar condiciones que permitan la construcción del sentido de los conocimientos, tenemos que proponer a los alumnos situaciones en las cuales los conocimientos aparezcan como soluciones óptimas.
Sabemos que la matemática es una herramienta útil para interpretar y analizar fenómenos de diversa naturaleza. Este trabajo de modelización exige seleccionar las variables a estudiar, utilizar el lenguaje de la matemática para expresar relaciones entre las mismas, y elegir las formas apropiadas de representación. En el caso de la noción de función el gráfico es uno de los recursos esenciales que permitirá acceder a sus diferentes significaciones.
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