Los registro semióticos y los aprendizajes intelectuales según Raymond Duval

REGISTROS DE REPRESENTACIÓN, COMPRENSIÓN Y APRENDIZAJE  

Los conceptos matemáticos se representan en los libros, pizarras, etc. por sistemas matemáticos de signos. Estos signos con soporte material forman parte del mundo real; por tanto, la representación mental de estos signos matemáticos se puede considerar como un caso particular de la representación mental de los objetos del mundo real. 
Hay dos mundos diferentes: el mundo real de los objetos exteriores al sujeto y el mundo mental del sujeto. Dicho de otra manera, se presupone que las personas tienen una mente en la que se producen procesos mentales, y que los objetos externos a las personas generan representaciones mentales internas. 
Con relación a los símbolos mentales, los psicólogos cognitivistas, creen que en la memoria a largo plazo existen imágenes mentales, otros se sitúan en el extremo contrario y afirman que sólo hay representaciones proposicionales.
Las representaciones mentales se pueden agrupar en tres tipos:

1. Las que la persona considera externas (las representaciones internas que son el resultado de la codificación de estímulos externos). 
2. Las propiamente internas. 
3. Las representaciones internas que sirvan para realizar representaciones consideradas externas (representaciones internas que se pueden decodificar). 

La representación no puede estudiarse separadamente de la significación. 
Para la psicología cognitiva, la cognición consiste en la manipulación mental de representación. 
Los símbolos mentales se consideran con una cierta corporeidad (palabras pensadas, evocación de objetos, etc.) 
Los objetos representados por los símbolos mentales pueden ser objetos no-ostensivos (conceptos, ideas, etc. personales al sujetos) y objetos ostensivos (con soporte material, intersubjetivos en el sentido de que se pueden mostrar a otra persona). 
La mayoría está de acuerdo en que la naturaleza de las representaciones matemáticas ostensivas (forman parte de las experiencias materiales de las personas) influye en el tipo de comprensión que genera el estudiante, y, recíprocamente, el tipo de comprensión que tiene determina el tipo de representación ostensiva que puede generar o utilizar.   
La comprensión de los estudiantes está relacionada con el incremento en el número de conexiones entre diferentes tipos de representaciones internas, lo cual se puede conseguir estableciendo conexiones y traducciones entre diferentes tipos de representaciones externas. 
Para describir un objeto matemático, necesitamos de un significante (semiosis) y de un significado (noesis).
Para que un sistema semiótico sea un registro de representación, debe permitir las tres actividades cognitivas ligadas a la semiosis (significante): 

1. La formulación de una representación identificable como una representación de un registro dado. 
2. El tratamiento de una representación que es la transformación de la representación dentro del mismo registro de donde ésta ha sido formada. El tratamiento es una transformación interna a un registro. 
3. La conversión de una representación que es la transformación de la representación en otra representación de otro registro en la que se conserva la totalidad o parte del significado de la representación inicial.    

El progreso en la matemática implica el desarrollo de numerosos sistemas semióticos de representación, de tal forma que cada nuevo sistema semiótico aporta nuevos significados de representación y procesos para el pensamiento matemático.  

Las causas profundas de los errores, ya que siempre se cambia de sistema semiótico, es que el contenido de la representación se modifica, mientras que el objeto permanece igual. 

• Esto significa que como los objetos matemáticos pueden ser identificados por cualquiera de sus representaciones, al principio los estudiantes son incapaces de discriminar el contenido de la representación y el objeto representado. Es decir, para ellos los objetos cambian cuando cambia la representación.
• Lo anterior conduce a admitir lo que Duval denomina como carácter paradójico del conocimiento matemático, ya que al no poder acceder a los objetos matemáticos si no es a través del uso de los signos, el objeto debe identificarse por medio de su representación, pero, al mismo tiempo, estos objetos no deben con fundirse con las representaciones semióticas utilizadas.   

LAS REPRESENTACIONES SEGÚN DUVAL    

    
Duval clasifica las representaciones en consciente y no consciente. Por consciente, entiende aquellas en las aparece "algo", y por no conscientes, las que se escapan completamente a la percepción del sujeto. A continuación, clasifica la representación en internas y externas, entendiendo por externas aquellas que son visibles y observables públicamente, y por internas, las que no son ni visibles, ni observables. 

                        

Así:

• Las representaciones semióticas son necesarias para el desarrollo de la actividad matemática y para la comunicación.
• La formación del pensamiento científico es inseparable del desarrollo de simbolismos específicos para representar los objetos y sus relaciones.
• El desarrollo de las representaciones mentales se efectúa como una interiorización de las representaciones semióticas de la misma manera que las imágenes mentales son una interiorizacion de los preceptos.
• Las representaciones mentales nunca pueden considerarse independientemente de las representaciones semióticas. 
• La pluralidad de sistemas semióticos permite una diversificación tal de las representaciones de un mismo objeto, que aumenta las capacidades cognitivas de los sujetos y por tanto sus representaciones mentales. 
• Es importante vincular el funcionamiento cognitivo y la utilización de varios sistemas semióticos de representación en la enseñanza para llegar a la abstracción y generalización; es decir, construir el aspecto teórico.  
• En la enseñanza de la matemática se observa un encerramiento entre representaciones que no provienen del mismo sistema semiótico. 
• El pasaje de un sistema de representación a otro, o la movilización simultanea de varios sistemas de representación en el transcurso de un mismo recorrido intelectual, no son espontáneos o evidentes para la mayoría de estudiantes. 
• Los estudiantes no reconocen el mismo objeto a través de las representaciones que pueden darse en sistemas semióticos diferentes. 
• Este fenómeno de encerramiento resulta del fenómeno de no-congruencia entre las representación de un objeto que provienen de sistemas semióticos diferentes.

La siguiente tabla muestra las diferentes representaciones de un objeto matemático (sistemas de ecuaciones lineales) en distintos registros de representaciones semióticas: 

     

                    
        

Ingeniería didáctica (Artigue)

La ingeniería didáctica surgió en la didáctica de las matemáticas francesa, a principios de los años ochenta, como una metodología para las realizaciones tecnológicas de los hallazgos de la teoría de Situaciones Didácticas y de la Transposición Didáctica. El nombre surgió de la analogía con la actividad de un ingeniero quien, según Artigue (1998, p. 33):

“Para realizar un proyecto determinado, se basa en los conocimientos científicos de su dominio y acepta someterse a un control de tipo científico. Sin embargo, al mismo tiempo, se encuentra obligado a trabajar con objetos mucho más complejos que los depurados por la ciencia y, por lo tanto, tiene que abordar prácticamente, con todos los medios disponibles, problemas de los que la ciencia no quiere o no puede hacerse cargo.”

En realidad el término ingeniería didáctica se utiliza en didáctica de las matemáticas con una doble función: como metodología de investigación y como producciones de situaciones de enseñanza y aprendizaje. 
Artigue (1998, p. 40) distingue varias dimensiones ligadas a los procesos de construcción de ingenierías didácticas:

• Dimensión epistemológica: asociada a las características del saber puesto en funcionamiento.
• Dimensión cognitiva: asociada a las características cognitivas de los alumnos a los que se dirige la enseñanza.
• Dimensión didáctica: asociada a las características del funcionamiento del sistema reenseñanza.

Como mencionamos anteriormente, el sustento teórico de la ingeniería didáctica proviene de la teoría de situaciones didácticas (Brousseau, 1997) y la teoría de la transposición didáctica (Chevallard, 1991), que tienen una visión sistémica al considerar a la didáctica de las matemáticas como el estudio de las interacciones entre un saber, un sistema educativo y los alumnos, con objeto de optimizar los modos de apropiación de este saber por el sujeto (Brousseau, 1997).

INGENIERÍA DIDÁCTICA COMO METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN 

Como metodología de investigación la ingeniería didáctica se caracteriza:

1. Por un esquema experimental basado en las “realizaciones didácticas” en el aula, es decir, sobre la concepción, realización, observación y análisis de secuencias de enseñanza.
2. Por el registro de los estudios de caso y por la validación que es esencialmente interna, basada en la confrontación entre el análisis a priori y a posteriori.

FASES DE LA METODOLOGÍA DE LA INGENIERÍA DIDÁCTICA 

El proceso experimental de la ingeniería didáctica consta de cuatro fases:

1. Primera fase: Análisis preliminares.
2. Segunda fase: Concepción y análisis a priori de las situaciones didácticas.
3. Tercera fase: Experimentación.
4. Cuarta fase: Análisis a posteriori y evaluación. 

Los análisis preliminares

Para la concepción una ingeniería didáctica son necesarios análisis preliminares respecto al cuadro teórico didáctico general y sobre los conocimientos didácticos adquiridos y relacionados con el tema. Los análisis preliminares más frecuentes son (Artigue, 1998 p. 38):
• El análisis epistemológico de los contenidos contemplados en la enseñanza
• El análisis de la enseñanza tradicional y sus efectos.
• El análisis de las concepciones de los estudiantes, de las dificultades y obstáculos que determinan su evolución.
• El análisis del campo de restricciones donde se va a situar la realización didáctica.

Concepción y análisis a priori de las situaciones didácticas

En esta segunda fase el investigador toma la decisión de actuar sobre un determinado número de variables del sistema que no estén fijadas por las restricciones.
Estas son las variables de comando que él percibe como pertinentes con relación al problema estudiado.
Artigue distingue dos tipos de variables de comando:
• Variables macro-didácticas o globales
• Concernientes a la organización global de la ingeniería.
• Variables micro-didácticas o locales
• Concernientes a la organización local de la ingeniería, o sea, la organización de una secuencia o fase.
Ambas variables pueden ser generales o bien dependientes del contenido didáctico en el que se enfoca la enseñanza. Es importante resaltar que las selecciones globales, aunque se presenten separadas de las selecciones locales, no son independientes de ellas.
El objetivo del análisis a priori es determinar en qué las selecciones hechas permiten controlar poscomportamientos de los estudiantes y su significado. Por
lo anterior, este análisis se basa en un conjunto de hipótesis. La validación de las mismas está indirectamente en juego en la confrontación que se lleva a cabo en la fase cuatro, entre el análisis a priori y el análisis a posteriori.
Artigue argumenta que tradicionalmente este análisis a priori comprende una parte descriptiva y una predictiva, y se debe:
• Describir las selecciones del nivel local y las características de la situación didáctica que de ellas se desprenden.
• Analizar qué podría ser lo que está en juego en esta situación para un estudiante en función de las posibilidades de acción, de selección, de decisión, de control y de validación de las que él dispone, una vez puesta en práctica en un funcionamiento casi aislado del profesor.
• Prever los campos de comportamientos posibles y se trata de demostrar cómo el análisis realizado permite controlar su significado y asegurar, en particular, que los comportamientos esperados, si intervienen, sean resultado de la puesta en práctica del conocimiento contemplado por el aprendizaje.

Experimentación

Es la fase de la realización de la ingeniería con una cierta población de estudiantes.
Esa etapa se inicia en el momento en que se da el contacto investigador/profesor/observador con la población de los estudiantes objeto de la
investigación.
La experimentación supone:
• La explicitación de los objetivos y condiciones de realización de la investigación a los estudiantes que participarán de la experimentación;
• El establecimiento del contrato didáctico;
• La aplicación de los instrumentos de investigación;

• El registro de observaciones realizadas durante la experimentación.
Durante la experimentación se busca respetar las selecciones y deliberaciones hechas en los análisis a priori.

Análisis a posteriori y evaluación

Esta es la última fase de la ingeniería didáctica. Esta fase se basa en el conjunto de datos recolectados a lo largo de la experimentación, es decir, las observaciones realizadas de las secuencias de enseñanza, al igual que las producciones de los estudiantes en el aula o fuera de ella. Estos datos se completan con otros obtenidos mediante la utilización de metodologías externas: cuestionarios, entrevistas individuales o en pequeños grupos, realizadas durante cada sesión de la enseñanza, etc.
La validación o refutación de las hipótesis formuladas en la investigación se fundamenta en la confrontación de los análisis, el a priori y a posteriori.

Didáctica de la geometría (Juan D. Godino - Francisco Ruíz)

 FIGURAS GEOMÉTRICAS 

DESARROLLO COGNITIVO Y PROGRESIÓN EN EL APRENDIZAJE 

EL MODELO DE LOS NIVELES DE VAN HIELE

La variación y el campo: tópicos para el desarrollo del pensamiento matemático (Silvia Vrancken - Adriana Engler - Daniela Müller)

La escuela y la universidad, en su interacción con la sociedad, deben formar personas con competencias para identificar, interpretar, modelar y resolver las situaciones que se les presentan. Esto implica preparar a los alumnos para resolver problemas y tratar la información que reciben del medio, de manera que sean capaces de reconocer las estrategias para su solución y favorecer un mejor entendimiento e interpretación de la realidad.

En este contexto, en el que nuestros alumnos merecen y necesitan la mejor formación matemática posible, el énfasis en la educación se encuentra orientado hacia el desarrollo del pensamiento matemático a partir de situaciones problemáticas significativas para los estudiantes.

El estudio de las variables, las funciones y el cálculo diferencial, encarados desde el pensamiento variacional, son un campo de acción y formación permanente en la educación matemática. 
Teniendo en cuenta lo esperado para la actividad matemática escolar, en cuanto a la superación de una enseñanza rígida basada en la presentación de contenidos fragmentados, favoreciendo un enfoque integrador, que recupera las ideas en cada nivel para ampliarlas y profundizarlas, que hace hincapié en la comprensión de los conceptos, los distintos tipos de representaciones, la creación de modelos matemáticos y la resolución de problemas, que busca un pasaje gradual de una enseñanza intuitiva y empírica, a una etapa en que los alumnos comienzan a configurar formas de razonamiento propias del pensamiento formal; encontramos que el tratamiento de situaciones referidas a fenómenos de variación y cambio constituyen un eje que permite desarrollar y modelar situaciones propiamente matemáticas, de las demás ciencias como así también de la vida cotidiana y que involucra conceptos y procedimientos relacionados entre sí y que, por su nivel de complejidad pueden y requieren ser desarrollados en diferentes niveles de escolaridad.

LA VARIACIÓN Y EL CAMBIO. DESARROLLO DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO 

Los conceptos básicos sobre los cuales se construye la matemática de la variación y el cambio son el de variable y el de función. En niveles superiores, las herramientas que proporciona el cálculo permiten encontrar las leyes que describen esos cambios, medirlos y predecirlos. Durante los siglos XVI y XVII, dada la necesidad de resolver problemas de movimiento de los astros, el flujo de los líquidos, el movimiento de un cuerpo, entre otros, aparecieron nuevos métodos matemáticos para su resolución.
De este modo las variables y funciones pasaron de ser modelos matemáticos que reflejan la variación concreta y las relaciones entre las variables, a conceptos matemáticos abstractos distantes de los fenómenos del movimiento que les dieron origen. Esta formalización se ha trasladado a la enseñanza, la cual se centra, por lo general en exceso, en el estudio de las ecuaciones que las definen, valorando la algoritmización y los métodos analíticos por encima del desarrollo de habilidades propias del pensamiento matemático.
El tratamiento de situaciones relacionadas con la variación y el cambio puede favorecer la comprensión de las funciones, propiciando a su vez una mejor introducción a temas específicos del cálculo, como el concepto de derivada, ya que implica el desarrollo del pensamiento variacional. 
La construcción de conceptos relacionados con la variación es un proceso lento que presenta dificultades ya que supone el dominio e integración de diferentes conceptos, algunos elementales, otros más avanzados, debiendo articularlos bajo diferentes contextos de representación (coloquial, gráfico, numérico y analítico) e incluyendo procesos avanzados del pensamiento como abstracción, justificación, visualización, estimación, razonamiento. Implica, por un lado, el manejo de los números (naturales, enteros, racionales, reales y complejos) y las magnitudes; y por otro lado, las representaciones gráficas para magnitudes continuas. Requiere además de la comprensión de procesos complejos como la noción de variación, la noción de variable y el paso al límite.
Las clases deben estar dirigidas primordialmente a que estudien y modelen fenómenos de cambio.

TRATAMIENTO DIDÁCTICO 

La matemática es una poderosa herramienta para la modelización de fenómenos. Los Principios y Estándares para la Educación Matemática (NCTM, 2000), establecen que los alumnos de todos los niveles deberían tener oportunidad de modelizar matemáticamente una amplia variedad de fenómenos, de manera apropiada según el nivel.
El concepto de función es una de las principales nociones de la matemática. Su enseñanza es uno de los aspectos que unifica el saber matemático. Desde los primeros ciclos se va insertando en el estudio de los distintos contenidos, hasta llegar al tratamiento de las funciones reales de variable real, que servirán de sustento para el estudio del cálculo infinitesimal.
Las distintas funciones describen situaciones muy diversas y se constituyen en una fuente muy importante para el estudio de numerosos problemas cuyo tratamiento exige la utilización de conceptos de la teoría de números, las mediciones, la geometría, la estadística, el cálculo de probabilidades y las descripciones de hechos surgidos experimentalmente.
Las funciones numéricas (tema de estudio de la matemática escolar y del cálculo diferencial e integral) están relacionadas con el álgebra, a través de la ecuación, con la geometría, por la gráfica de la ecuación, con los números, por la correspondencia entre los mismos y con la variación a través de la idea de cambio de una variable con respecto a la otra.
El estudio del cambio se formaliza en Análisis, al encarar el estudio de la derivada.
Aparecen dos formas de modelar situaciones en las que interviene el tiempo. La primera cuando se considera el tiempo como una magnitud continua. La otra forma de modelar una situación en la que interviene el tiempo se presenta cuando se observa la situación en instantes espaciados de tiempo.

Pensamiento y lenguaje variacional en la introducción al análisis (Ricardo Cantoral - Rosa María Farfán)

Durante las últimas décadas hemos visto aparecer al seno de la comunidad de educadores matemáticos, didactas de la matemática o de los matemáticos educativos, sectores académicos universitarios que se ocupan del estudio de los procesos del pensamiento llamados avanzados en los temas matemáticos de la educación superior. Las temáticas que abordan son posteriores al álgebra básica. 
Este vertiginoso crecimiento ha sido posible, debido al creciente interés de los matemáticos profesionales en los asuntos de la enseñanza y del aprendizaje, y el segundo, a causa de la estabilidad y madurez que han alcanzado comunidades de investigación que se organizan en torno de grupos académicos con paradigma propio. 
Este doble proceso de desarrollo que se nutre de la reflexión matemática al seno de lo didáctico por una parte y de apoyar, por otra, la explicación didáctica con base en la construcción social e individual del conocimiento ha sido una de las principales y más recientes contribuciones de nuestra disciplina: la Matemática Educativa.
las investigaciones que tratan sobre la didáctica del análisis se apoyan en distintas metáforas del aprendizaje, pero que comparten, en algún sentido, ciertos puntos en común con la tesis central que proporciona la epistemología genética relativa al desarrollo del pensamiento. Otra coincidencia consiste en el hecho de que las investigaciones reportadas se han centrado en problemáticas que se ocupan de la matemática relevante en la enseñanza superior.
La línea de investigación que desarrollamos considera como necesidad básica el dotar a la investigación de una aproximación sistémica que permita incorporar las cuatro componentes fundamentales en la construcción del conocimiento; su naturaleza epistemológica, su dimensión sociocultural, los planos de lo cognitivo y los modos de transmisión vía la enseñanza. A esta aproximación múltiple, que en la jerga le nombramos “la cuarta dimensión”, le hemos llamado formalmente el acercamiento socioepistemológico El pensamiento y el lenguaje variacional será entendido como una línea de investigación que, ubicada al seno del acercamiento socioepistemológico, permita tratar la articulación entre la investigación y las prácticas sociales que dan vida a la matemática de la variación y el cambio en los sistemas didácticos.

DESARROLLO DE LA PROPUESTA 

Como se puede advertir, el desarrollo del pensamiento y el lenguaje variacional entre los estudiantes precisa de procesos temporalmente prolongadas a juzgar por los tiempos didácticos habituales. Supone, por ejemplo, del dominio de la matemática básica y de los procesos del pensamiento asociados, pero exige simultáneamente de diversas rupturas con estilos del pensamiento prevariacional, como el caso del pensamiento algebraico ampliamente documentado por (Artigue, 1998). Esa ruptura además, no puede ser sostenida exclusivamente al seno de lo educativo con base en un nuevo paradigma de rigor que se induce simplemente de la construcción de los números reales como base de la aritmetización del análisis, ni tampoco puede basarse sólo en la idea de aproximación; sino que debe ayudar también a la matematización de la predicción de los fenómenos de cambio.
Para acceder al pensamiento y lenguaje variacional se precisa entre otras cosas del manejo de un universo de formas gráficas extenso y rico en significados por parte del que aprende. El conocimiento superficial de la recta y la parábola no resultan suficientes para desarrollar las competencias esperadas en los cursos de análisis.
Desde el punto de vista del sistema de enseñanza, tradicionalmente los cursos de precálculo (o de preparación al análisis) se conforman por un repertorio de procedimientos y algoritmos provenientes esencialmente del álgebra y de la geometría analítica, tocando con mayor o menor énfasis el estudio del concepto de función, habitualmente entendido en el sentido de la definición de DirichletBourbaki.

Su enseñanza tiende a sobre valorar los aspectos analíticos y los procedimientos algorítmicos, dejando de lado a los argumentos visuales o a los enfoques numéricos, por no considerarlos, entre otras causas, como procesos plenamente matemáticos. Es decir, la concepción que de la matemática se tenga, se extiende a su vez a la de su enseñanza, independientemente de los estudiantes a los que ésta se dirija.
Empero, el concepto de función devino protagónico hasta que se le concibe como una fórmula, es decir hasta que logró la integración de dos dominios de representación: el álgebra y la geometría.
La presentación habitual de la noción de función se presenta como un procedimiento que se aplica a unos ciertos objetos llamados números; este mismo concepto, el de función, deviene en objeto al ser operado bajo otro proceso como la diferenciación o la integración y así se sigue hasta nociones aun más avanzadas. Hemos constatado que en caso de que se logren incorporar elementos visuales como parte de su actividad matemática al enfrentar problemas, entonces se suele manejar a la función no sólo como objeto, lo que ya es un gran logro, sino que además pueden transitar entre los contextos algebraico, geométrico, numérico, icónico y verbal con cierta versatilidad; en otras palabras, en caso de tener un dominio del contexto geométrico/visual tanto en la algoritmia, la intuición, así como en la argumentación, será posible entonces el tránsito entre las diversas representaciones.
Hipótesis central: previo al estudio del cálculo se precisa de la adquisición de un lenguaje gráfico que posibilite, esencialmente, la transferencia de campos conceptuales virtualmente ajenos a causa de las enseñanzas tradicionales, estableciendo un isomorfismo operativo entre el álgebra básica y el estudio de curvas, mejor aún, entre el lenguaje algebraico y el lenguaje gráfico.
Esta hipótesis ha sido desarrollada tomando las dos siguientes directrices; en primer término se presenta la posibilidad de operar gráficas en analogía con los números o las variables, dando sentido a operaciones fundamentales como las que enunciamos a continuación:
-f(x) y f(-x)                 Reflexión respecto del eje x y del eje y respectivamente
f(x+a) y f(x-a)            Traslación en la dirección del eje x
f(x)+a y f(x)-a            Traslación en la dirección del eje y
af(x)                          Contracción o dilatación respecto del eje y
f ^ -1(x)                     Reflexión respecto de la recta y = x
1/f(x)                         Invierte ceros en asíntotas y viceversa, las regiones donde |y|> 1 se                                      mandan hacia |y|< 1 y viceversa, dejando intactos a los puntos                                              sobre las rectas y = 1 e y = 1.

|f(x)| y f(|x|)               Respectivamente reflexión de las imágenes negativas al simétrico                                          positivo respecto del eje x y reflexión de sustitución del lado de la                                          gráfica con ordenadas negativas por la reflexión del lado de la gráfica                                    con ordenadas positivas.
  
El segundo aspecto relevante lo constituye la posibilidad de construir un universo amplio de funciones a partir de tres funciones primitivas de referencias. 

• La función identidad, f(x) = x.
• La función exponencial, f(x) = a^x.
• La función sinusoidal, f(x) = senx.

Todas ellas son la base para construir las funciones elementales en el sentido de Cauchy. Respectivamente ellas sirven para construir gráficamente, operando a las gráficas, a las funciones algebraicas, logarítmicas, exponenciales y trigonométricas. Para todo ello es necesario operar algebraicamente a fin de obtener la gráfica de las funciones involucradas para que finalmente sean comparadas y estar en condiciones de resolver de este modo los sistemas de ecuaciones a que haya lugar. Así mismo, para buscar los extremos de funciones como la siguiente; 
x/ (ax^2+b) tomando a y b positivos. 
Logramos avanzar en la construcción del puente entre contextos, pues la tarea en el contexto gráfico sirve de guía a la sintaxis algebraica, de modo que esta refuerza su significado.

LA PREDICCIÓN, EL BINOMIO DE NEWTON Y LA SERIE DE TAYLOR

Con la predicción de los fenómenos de flujo continuo en la naturaleza, es posible anunciar, anticipar su estado ulterior. Pues conociendo ciertos valores iniciales de un sistema en evolución, sabremos la forma en la que éste progresa. Veremos enseguida la nitidez de esta idea en dos situaciones específicas; la primera trata del estudio de la cinemática de una partícula que se desplaza rectilíneamente; situación en la que se precisa de una predicción de largo alcance en ámbitos de variación continua, y la segunda, que se ocupa del examen del planteamiento y resolución de la ecuación de la cuerda vibrante; fenómeno que se refiere a la predicción de corto alcance en ámbitos de variación continua. Iniciemos pues con el antecedente fundamental de la matematización de ambos fenómenos, con el binomio de Newton.
Desde nuestro punto de vista, la noción de predicción se construye socialmente a partir de las vivencias y experiencias cotidianas de los individuos y de los grupos sociales.
El objeto matemático, binomio de Newton, se presenta como una entidad que emerge progresivamente del sistema de prácticas socialmente compartidas ligadas a la resolución de una clase de situaciones que precisan de la predicción. Para ello habrá que considerar tanto la diversidad de contextos en los que puede suceder la variación, como la variedad de fenómenos estudiados con estrategias similares. En su momento, este programa newtoniano de investigación llevó al surgimiento de una progresiva cadena de elaboraciones teóricas, cada vez más abstractas, que culmina, por así decirlo con el programa lagrangiano donde emerge la noción de función analítica.
Estudiemos pues esta situación en un caso conocido. Supongamos que tenemos los valores iniciales (en el tiempo t = 0), tanto de la posición s(0) = s0, como de la velocidad v(0) = v0, y la aceleración a(0) = a0 de una partícula que se desplaza sobre una recta. Para cualquier instante posterior t la posición s(t ), la velocidad v(t ) y la aceleración a(t ) estarán dadas mediante el instrumento para predecir, a saber, la serie de Taylor,

f(x) = f(0) + f' (0)x + f" (0)x 2 /2! + ...

Debido a que el tratamiento didáctico que le acompaña exhibe a la serie de Taylor más como un resultado de naturaleza teórica, que requiere para su deducción de principios propios del análisis matemático como el axioma de completez en alguna de sus versiones y de los teoremas de los medios. Hoy contamos con diversas presentaciones de estos resultados que bien podríamos llamar de naturaleza constructivista.
En lo que sigue, sólo examinamos dos problemas típicos de las ecuaciones: el problema del decaimiento radioactivo y el problema de la determinación de la ecuación de onda.

CONCLUSIONES 

La enseñanza y el aprendizaje de situaciones variacionales plantean un gran número de problemas no triviales. Cada concepto avanzado que se desea enseñar, suele apoyarse en conceptos más elementales y se resiste al aprendizaje si no se antecede por un sólido entendimiento de los conceptos previos.
Este proceso de cambio se registra en la variación de las variables y requiere para su tratamiento del reconocimiento de aquello que hace posible anticipar a los comportamientos en la predicción de corto alcance en ámbitos de variación tanto discreta como continua.
Por su parte, el vínculo entre los procesos predictivos de corto y largo alcance en ámbitos discretos y continuos, se sustenta por su parte en otro mecanismo de funcionamiento en la construcción de conocimiento: el carácter hereditario del cambio. Con lo cual queremos decir que el estado ulterior del fenómeno de variación depende completamente de las circunstancias que caracterizan al estado de facto, la evolución de un sistema está determinado completamente por sus variaciones primeras. Este proceso de construcción del instrumento para predecir permite mirar a la variación continua representándola en el contexto matemático conduce de la idea de predicción hacia la noción matemática de lo analítico.