El razonamiento algebraico implica representar, generalizar y formalizar
patrones y regularidades en cualquier aspecto de las matemáticas. A medida que
se desarrolla este razonamiento, se va progresando en el uso del lenguaje y el
simbolismo necesario para apoyar y comunicar el pensamiento algebraico,
especialmente las ecuaciones, las variables y las funciones. Este tipo de
razonamiento está en el corazón de las matemáticas concebida como la ciencia de
los patrones y el orden, ya que es difícil encontrar un área de las matemáticas
en la que formalizar y generalizar no sea central.
Algunas de las características del razonamiento algebraico son sencillas
de adquirir por los niños, y por tanto deben conocer los maestros en formación,
son:
- Los patrones o regularidades
existen y aparecen de manera natural en las matemáticas. Pueden ser
reconocidos, ampliados, o generalizados. El mismo patrón se puede
encontrar en muchas formas diferentes. Los patrones se encuentran en
situaciones físicas, geométricas y numéricas.
- Podemos ser más eficaces al
expresar las generalizaciones de patrones y relaciones usando
símbolos.
- Las variables son símbolos
que se ponen en lugar de los números o de un cierto rango de números.
- Las funciones son relaciones o reglas que asocian los elementos de un conjunto con los de otro, de manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo uno del segundo conjunto. Se pueden expresar en contextos reales mediante gráficas, fórmulas, tablas o enunciados.
EL ÁLGEBRA COMO INSTRUMENTO DE MODELIZACIÓN MATEMÁTICA
Una visión tradicional y limitada del álgebra escolar es considerada
simplemente como una manipulación de letras que representan números no
especificados: En esta visión los objetos que se ponen en juego en la
aritmética y la "aritmética generalizada" son los mismo: números,
operaciones sobre números y relaciones entre los números; las diferencias entre
ambas partes de las matemáticas son diferencias en cuanto a la generalidad de
las afirmaciones que se hacen:
- La aritmética trata con
números específicos expresados mediante los naturales habituales o
mediante expresiones numéricas en las que los números se combinan con los
símbolos de las operaciones aritméticas.
- El álgebra trata con números
no especificados (incógnitas, variables) representados por letras, como x,
y, t, v, o bien expresiones con variables.
Este
"tipo de álgebra" está presente desde los primeros niveles
educativos.
Es necesario que los profesores tengan una visión del álgebra escolar más
amplia que la que resulta de las generalizaciones aritméticas y el manejo de
expresiones literales. La generalización se aplica a todas las situaciones que
se puedan modelizar en términos matemáticos, por lo que el lenguaje algebraico
está presente en mayor o menor grado como herramienta de trabajo en todas las
ramas de las matemáticas.
Algunas características de algebra que son fáciles de apreciar
son:
- El uso de símbolos,
habitualmente letras, que designan elementos variables o genéricos de
conjuntos de números, u otras clases de objetos matemáticos.
- La expresión de relaciones
entre objetos mediante ecuaciones, fórmulas, funciones, y la aplicación de
unas reglas sintácticas de transformación de las expresiones.
Pero
estas características del álgebra son sólo su parte superficial. La parte
esencial lo constituye la actividad que se hace con estos instrumentos:
- La variables, ecuaciones,
funciones, y las operaciones que se pueden realizar con estos medios, son
instrumentos de modelización (aritméticos, geométricos), o problemas
aplicados de toda índole (de la vida cotidiana, financieros, físicos,
etc.). Cuando estos problemas se expresan en el lenguaje algebraico
producimos un nuevo sistema en el que se puede explorar la estructura del
problema modelizado y obtener su solución. La modelización algebraica de
los problemas proporciona nuevas capacidades para analizar las soluciones,
generalizarlas y justificar el alcance de las mismas, Permite además
reducir los tipos de problemas y unificar las técnicas de solución.
Esta
visión ampliada del álgebra como instrumento de modelización matemática es la
que se puede y debe ir construyendo progresivamente desde los primeros niveles
educativos, puesto que la modelización algebraica es una cuestión de
grado.
DIFERENTES CLASES DE SIGNOS
Para representar una situación podemos utilizar diferentes tipos de
signos. (Icono, índice, símbolo).
La importancia de considerar el papel que juegas los diferentes tipos de
representación de las matemáticas ha sido puesta de manifiesto por diferentes
investigadores. Por ejemplo, según Bruner hay que considerar tres tipos de
representaciones:
- La representación enactiva: este tipo de representación
permite representar eventos mediante una respuesta motriz adecuada.
- La representación icónica: este tipo de
representación permite representar una situación por medio de dibujos,
figuras o iconos que tenga algún tipo de parecido con aquello que se
presenta.
- La representación simbólica: este tipo de representación va ligada a la competencia lingüística y permite representar las situaciones mediante símbolos.
LAS VARIABLES Y SUS USOS
Una variable es un símbolo que puede ponerse en lugar de cualquier
elemento de un conjunto, sean números u otros objetos.
Las variables son uno de los instrumentos más poderosos para expresar
las regularidades que se encuentran en matemáticas. El principal interés del
uso de letras (variables) en matemáticas es que permiten expresar relaciones
generales entre los objetos de una manera eficaz.
Usos principales de las variables en matemática:
- Las variables como
incógnitas:
Cuando se usan para representar números (u otros objetos) uno de cuyos
valores posibles hace verdadera una expresión. La incógnita interviene
como un objeto matemático desconocido que se manipula como si fuera
conocido.
- Las variables como
indeterminadas o
expresión de patrones generales. Es el caso cuando la variable se usa en
enunciados que son ciertos para todos los números (o elementos del
conjunto que se trate).
- Las variables para expresar
cantidades que varían conjuntamente. La relación de dependencia entre variables
ocurre cuando el cambio de variables determina el cambio en la otra.
- La variables como constantes
o parámetros. Es el caso de la letra a en la fórmula de la
función de proporcionalidad y= ax. En un primer momento se ha de
considerar que la letra a no varia y que sólo lo hacen de manera conjunta
la x y la y.
