sábado, 29 de octubre de 2016

La anatomía de los PLEs (Entorno Personal de Aprendizaje)

EL ENTORNO PERSONAL PARA APRENDER 

La idea de que todas las personas tienen un entorno, personal por tanto, en el que aprenden es inherente al hecho mismo de que las personas aprenden a lo largo de toda su vida y en todo momento.
Sea cual sea la época en la que nos situemos, las personas han tenido siempre un entramado de conexiones sociales y de fuentes básicas de las que aprender. Ese “entramado” ha estado condicionado siempre por las fuentes de conocimiento fiable de las que disponían y de las cuales se entendía que debían aprender. Así, en un primer momento el entorno de aprendizaje se limitaba a la tribu y a la familia, posteriormente incluyó también a un maestro del que éramos aprendices, con la aparición y proliferación de los libros incluyó a los libros y, cuando aparece la escuela, centraliza en ella casi todos sus elementos.
No obstante, con la llegada de Internet, las tecnologías de la llamada Web 2.0 y la popularización del acceso móvil a la información las cosas han cambiado. Nos encontramos en una era educativa que Weller (2011) llama “de la abundancia”. Ahora podemos acceder de forma rápida y sencilla a toda la información que constituía en otros momentos el grueso de la educación escolar (los contenidos) y además podemos comentarla, recrearla y debatirla con otras personas. La información a la que tenemos acceso se ha multiplicado por varios órdenes de magnitud.
Las experiencias, intercambios, actividades a las que nos ha acercado el uso de las tecnologías ha multiplicado, diversificado y personalizado de manera extraordinaria nuestro entorno para aprender, al punto que los entornos de aprendizaje centralizados y comunes a todos nos parecen insuficientes y empobrecedores.
Algunos autores, Collins y Halverson (2010) por ejemplo, afirman que existen aspectos incompatibles entre la sociedad que aprende con tecnologías y la sociedad que aprende exclusivamente con los medios tradicionales de la escuela: el aprendizaje igual para todos frente a la posibilidad –y necesidad– de personalización, la noción del profesor como experto único y fuente clave de toda información válida y relevante, frente a la proliferación de fuentes de información diversas, la obsesión por una evaluación estandarizada frente a la necesidad de evaluaciones especializadas que respondan a la personalización de la que hablábamos antes, la creencia de que el conocimiento radica en la cabeza de las personas frente a la evidencia de que el conocimiento depende de recursos externos con los que establecemos relaciones, la visión del conocimiento relevante como algo que se adquiere en su totalidad o en gran parte en una institución o de cierto tipo de fuentes de información frente a la explosión y fragmentación del conocimiento en los soportes digitales y en red y, finalmente, el cambio de paradigma de trabajo, desde una pedagogía que cree en el aprendizaje por exposición a la información a una que pone el énfasis en aprender haciendo y, sobre todo, en aprender a aprender para poder seguir aprendiendo a lo largo de toda la vida.
En este marco, es coherente que haya aumentado notablemente la preocupación por los procesos que están en la base del aprendizaje, dentro y fuera de las aulas. El entorno natural de nuestras interacciones se ha expandido a la red de información que hemos tejido globalmente en las últimas décadas. Y es aquí, en esta nueva realidad, donde aparece el interés por el estudio de los PLEs.

EL PLE, UNA IDEA ÚTIL SOBRE CÓMO APRENDEMOS 

Se dice que la idea de PLEs se remonta al año 2001 cuando, en el marco del proyecto NIMLE (Northern Ireland Integrated Managed Learning Environment) financiado por el JISC (el Joint Information Systems Committee de la Gran Bretaña), se empieza a desarrollar la idea de un entorno de aprendizaje centrado en el alumno como evolución de los ya por entonces populares entornos virtuales de enseñanza-aprendizaje, centrados en la institución. Un entorno que pudiera recoger y centralizar recursos de diversas instituciones (Brown 2010).
Algunos años más tarde, en 2004, el JISC incluyó una sesión específica en su congreso anual dedicada a entornos telemáticos centrados en el alumno a los que llamaron Personal Learning Environments. Esta fue la primera vez que se usó “oficialmente” dicho concepto, que posteriormente se generalizó y evolucionó, y cuyo acrónimo usamos en casi todos los idiomas: PLE. 
Aunque el tema de los PLEs había comenzado a aparecer poco a poco en los congresos y reuniones científicas generalistas sobre tecnología educativa, la celebración en 2010 de la primera PLE Conference (http://pleconf.org) en Barcelona marcó un punto de inflexión permitiendo un foro periódico, dedicado exclusivamente a los PLEs en el que no se tratase el tema de manera periférica a la tecnología educativa, sino como un eje desde el que podrían analizarse otros temas.
En la PLE Conference de 2011 (Southampton, Reino Unido) se había llegado a muchos acuerdos. Se hablaba sin complejos de herramientas de PLE institucional entendidas como parte del PLE y de cómo ayudar a los estudiantes a dar forma a sus propios PLEs (evidente en la comunicación de Millard et al., o en la de Conde et al.) y se analizaba con más interés la evolución tecnológica que facilita la gestión de los PLEs – entendiendo que PLE es una perspectiva pedagógica que implica necesariamente a la tecnología– (como en las comunicaciones de Ullmann et al., la de Kroop, o la de Akbari, Herle y Heinen). 
Finalmente, en 2012 (en Aveiro, Portugal) los consensos ya alcanzados (como los referidos al concepto, o a lo innecesario de nuevos acrónimos) permitieron que muchas de las discusiones y propuestas tuviesen al PLE no como objeto de estudio sino como punto de partida y catalizador de los trabajos.
Así pues, conforme han pasado los años y el estudio y la discusión en torno a los PLEs ha ido en aumento, esas dos tendencias iniciales de las que hablábamos y que parecían irreconciliables han ido remitiendo y confluyendo en posiciones más centrales. Así hoy se afirma que “PLE es un enfoque pedagógico con unas enormes implicaciones en los procesos de aprendizaje y con una base tecnológica evidente. Un concepto tecno- pedagógico que saca el mejor partido de las innegables posibilidades que le ofrecen las tecnologías y de las emergentes dinámicas sociales que tienen lugar en los nuevos escenarios definidos por esas tecnologías” (Attwell, Castañeda y Buchem, en prensa), o lo que es lo mismo, una idea que nos ayuda a entender cómo aprendemos las personas usando eficientemente las tecnologías que tenemos a disposición.
Pero desde esta perspectiva, ¿qué es exactamente lo que entendemos que incluye un PLE?

PLE CONCEPTO Y COMPONENTES DE UN PLE 

El PLE de las personas se configura por los procesos, experiencias y estrategias que el aprendiz puede –y debe– poner en marcha para aprender y, en las actuales condiciones sociales y culturales, está determinado por las posibilidades que las tecnologías abren y potencian. Eso implica que hoy algunos de esos procesos, estrategias y experiencias son nuevos, han surgido de la mano de las nuevas tecnologías de la información y la comunicación, pero implica también que es deseable que sean utilizados frecuentemente y que sirvan para enriquecer la manera en la que aprenden las personas tanto de forma individual como con otros.
En el PLE de las personas se integran, además de las experiencias clásicas que configuraban nuestro aprendizaje en la educación formal, las nuevas experiencias a las que nos acercan las herramientas tecnológicas actuales, especialmente las aplicaciones y servicios de la Web 2.0, y los procesos emergentes –individuales y sobre todo colectivos– de dicha ecología del aprendizaje.
Eso implica que, si en aquel primer trabajo (Adell y Castañeda, 2010) de definición de los PLEs y en uno siguiente en el que abordábamos el desarrollo profesional docente desde la perspectiva de los PLE (Castañeda y Adell, 2011), decíamos que las partes del PLE eran:
“1) herramientas y estrategias de lectura: las fuentes de información a las que accedo que me ofrecen dicha información en forma de objeto o artefacto (mediatecas);
2) herramientas y estrategias de reflexión: los entornos o servicios en los que puedo transformar la información (sitios donde escribo, comento, analizo, recreo, publico), y
3) herramientas y estrategias de relación: entornos donde me relaciono con otras personas de/con las que aprendo”.




GENERALIDADES Y TRANSVERSALIDADES 

No existen ni herramientas, ni estrategias, ni mecanismos que puedan ser considerados como exclusivos de una única parte del PLE. Cada uno de ellos, según el uso que decidamos darle, así como el momento en el que nos encontremos, formarán parte de una estrategia de aprendizaje u otra.
En este mismo sentido, existen mecanismos que son específicos de partes concretas de nuestro PLE, como cuando nos referimos a debatir y consensuar como mecanismos típicos a la hora de compartir (PLN), pero también es verdad que muchos de los mecanismos que ya enriquecen otras partes de nuestro PLE en sus partes más “individuales” (síntesis, análisis, búsqueda proactiva) tienen un rol importante en esta faceta más social de nuestro entorno de aprendizaje. 
Además, existen algunos procesos mentales que debieran considerarse transversales al PLE, como se pueden considerar transversales a la experiencia de aprender y a la capacidad de aprender autónomamente. Hablamos de procesos como crear, autorregularse, ser curioso, y en general todos aquellos que van más allá del sistema puramente cognitivo (Bloom et al., 1956) y se relacionan con los sistemas de metacognición y de conciencia del ser enunciados por Marzano (2001). 
Es decir, que aunque hay tres aspectos básicos que nos ayudan a explicitar nuestro PLE –leer, reflexionar-hacer y compartir–, las de herramientas, fuentes de información, conexiones y actividades que se incluyen no son de uso exclusivo de una de esas partes. En todo caso se trata de cómo aprendemos, así que las únicas “reglas” son las que nos indique nuestra percepción de ese aprendizaje.

viernes, 21 de octubre de 2016

Didáctica de matemáticas. Aportes y reflexiones (Cecilia Parra - Irma Saiz)

APRENDER (POR MEDIO DE) LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 


Para un espíritu científico todo conocimiento es una respuesta a una pregunta. Si no ha habido pregunta no puede haber conocimiento científico. Nada viene solo, nada es dado. Todo es construido.

BACHELARD, La formación del espíritu científico

¿Lecciones de la historia?

La historia de la matemática, en la complejidad de su evolución y de sus revoluciones, ilustra bien esta cita de Bachelard. Las matemáticas se han construido como respuesta a preguntas que han sido traducidas en otros tantos problemas. Estas preguntas han variado en sus orígenes y en sus contextos: problemas de orden doméstico (división de tierras, cálculo de créditos ... ); problemas planteados en estrecha vinculación con otras ciencias (astronomía, física ... ); especulaciones en apariencia “gratuitas” sobre “objetos” pertenecientes a las matemáticas mismas, necesidad de organizar elementos ya existentes, de estructurarlos, por ejemplo, por las exigencias de la exposición (enseñanza ... ), etcétera.
¿Pueden estas consideraciones (muy esquemáticas) sobre el origen del conocimiento matemático y sobre las condiciones de su elaboración encontrar eco en una reflexión sobre la cuestión del aprendizaje matemático en el contexto escolar? La respuesta debe ser prudente y cuidadosa: las herramientas o nociones elaboradas en una época determinada lo han sido, en efecto, en un contexto cultural, socioeconómico...., que no es aquel en el que viven nuestros alumnos. Resta decir que son los problemas que les han dado origen (y los que ha planteado a continuación) los que han dado sentido a las matemáticas producidas. Esta es, tal vez, la principal lección que tener en cuenta en la enseñanza.

Construir el sentido...


Uno de los objetivos esenciales (y al mismo tiempo una de las dificultades principales) de la enseñanza de la matemática es precisamente que lo que se ha enseñado esté cargado de significado, tenga sentido para el alumno.

Para G. Brousseau (1983),
el sentido de un conocimiento matemático se define:
– no sólo por la colección de situaciones donde este conocimiento es realizado como
teoría matemática; no sólo por la colección de situaciones donde el sujeto lo ha
encontrado como medio de solución,
– sino también por el conjunto de concepciones que rechaza, de errores que evita, de
economías que procura, de formulaciones que retoma, etc.

Agreguemos que la construcción de la significación de un conocimiento debe ser considerada en dos niveles:
  • un nivel “externo”: ¿cuál es el campo de utilización de este conocimiento y cuáles son los límites de este campo?
  • un nivel “interno”: ¿cómo y por qué funciona tal herramienta? (por ejemplo, ¿cómo funciona un algoritmo y por qué conduce al resultado buscado?).
La cuestión esencial de la enseñanza de la matemática es entonces: ¿cómo hacer para que los conocimientos enseñados tengan sentido para el alumno?
El alumno debe ser capaz no sólo de repetir o rehacer, sino también de resignificar en situaciones nuevas, de adaptar, de transferir sus conocimientos para resolver nuevos problemas.
Y es, en principio, haciendo aparecer las nociones matemáticas como herramientas para resolver problemas como se permitirá a los alumnos construir el sentido. Sólo después estas herramientas podrán ser estudiadas por sí mismas.

Estrategia de aprendizaje

Se plantea entonces al docente la elección de una estrategia de aprendizaje. Esta elección (que cada uno hace al menos implícitamente) está influida por numerosas variables: el punto de vista del docente sobre la disciplina enseñada (¿qué es la matemática?, ¿qué es hacer matemática?), su punto de vista sobre los objetivos generales de la enseñanza y sobre aquellos específicos de la matemática, su punto de vista sobre los alumnos (sus posibilidades, sus expectativas), la imagen que el docente se hace de las demandas de la institución (explícitas, implícitas o supuestas), de la demanda social o también de la de los padres...
Para describir algunos modelos de aprendizaje, se puede apoyar en la idea de “contrato didáctico”, tal como Brousseau lo ha definido:

conjunto de comportamientos (específicos) del maestro que son esperados por el alumno, y conjunto de comportamientos del alumno que son esperados por el maestro, y que regulan el funcionamiento de la clase y las relaciones maestro-alumnos-saber, definiendo así los roles de cada uno y la repartición de las tareas: ¿quién puede hacer qué?, ¿quién debe hacer qué?, ¿cuáles son los fines y los objetivos?...

Así, una situación de enseñanza puede ser observada a través de las relaciones que se “juegan” entre estos tres polos: maestro, alumno, saber. Analizando: 
  • la distribución de los roles de cada uno,
  • el proyecto de cada uno,
  • las reglas del juego: ¿qué está permitido, qué es lo que realmente se demanda, qué se espera, qué hay que hacer o decir para “mostrar que se sabe”....?
Muy esquemáticamente se describirán tres modelos de referencia:
  1. El modelo llamado “normativo” (centrado en el contenido): Se trata de aportar, de comunicar un saber a los alumnos. La pedagogía es entonces el arte de comunicar, de “hacer pasar” un saber. – El maestro muestra las nociones, las introduce, provee los ejemplos. – El alumno, en primer lugar, aprende, escucha, debe estar atento; luego imita, se entrena, se ejercita, y al final aplica. – El saber ya está acabado, ya construido. Se reconocen allí los métodos a veces llamados dogmáticos (de la regla a las aplicaciones) o mayeúticos (preguntas/respuestas).
  2. El modelo llamado “incitativo” (centrado en el alumno):  Al principio se le pregunta al alumno sobre sus intereses, sus motivaciones, sus propias necesidades, su entorno. – El maestro escucha al alumno, suscita su curiosidad, le ayuda a utilizar fuentes de información, responde a sus demandas, lo remite a herramientas de aprendizaje (fichas), busca una mejor motivación (medio: cálculo vivo de Freinet, centros de interés de Decroly). – El alumno busca, organiza, luego estudia, aprende (a menudo de manera próxima a lo que es la enseñanza programada). -El saber está ligado a las necesidades de la vida, del entorno (la estructura propia de este saber pasa a un segundo plano). Se reconocen allí las diferentes corrientes llamadas “métodos activos”.
  3. El modelo llamado “aproximativo” (centrado en la construcción del saber por el alumno): Se propone partir de “modelos”, de concepciones existentes en el alumno y “ponerlas a prueba” par mejorarlas, modificarlas o construir nuevas. – El maestro propone y organiza una serie de situaciones con distintos obstáculos (variables didácticas dentro de estas situaciones), organiza las diferentes fases (investigación, formulación, validación, institucionalización). – Organiza la comunicación de la clase, propone en el momento adecuado los elementos convencionales del saber (notaciones, terminología). – El alumno ensaya, busca, propone soluciones, las confronta con las de sus compañeros, las defiende o las discute. – El saber es considerado con su lógica propia.
Notemos que ningún docente utiliza exclusivamente uno de los modelos; que el acto pedagógico en toda su complejidad utiliza elementos de cada uno de los modelos..., pero que, a pesar de todo, cada uno hace una elección, consciente o no y de manera privilegiada, de uno de ellos. Agreguemos que el estudio de estos modelos provee una buena herramienta de análisis de las situaciones didácticas y de reflexión para los docentes en formación. Tres elementos de la actividad pedagógica se muestran privilegiados para diferenciar estos tres modelos y reflexionar sobre su puesta en práctica:
– El comportamiento del docente frente a los errores de sus alumnos: ¿qué interpretación hace de ellos?, ¿cómo interviene?, ¿para hacer qué?, ¿qué demanda, entonces a sus alumnos?
– Las prácticas de utilización de la evaluación: ¿de qué sirve la evaluación?, ¿en qué momento interviene en el proceso de aprendizaje?, ¿bajo qué formas?
– El rol y el lugar que el maestro asigna a la actividad de resolución de problemas: ¿qué es para él un problema?, ¿cuándo utiliza problemas, en qué momentos del aprendizaje?, ¿con qué fin?

Opciones a favor de una elección

Estas opciones se apoyan en resultados de investigación y dependen, por una parte, de elecciones ideológicas. Ellas se basan en la pregunta “¿Cómo aprenden los alumnos?”.
  1. Los conocimientos no se apilan, no se acumulan, sino que pasan de estados de equilibrio a estados de desequilibrio, en el transcurso de los cuales los conocimientos anteriores son cuestionados. Una nueva fase de equilibrio corresponde entonces a una fase de reorganización de los conocimientos, donde los nuevos saberes son integrados al saber antiguo, a veces modificado (cf. Piaget).Así, un nuevo saber puede cuestionar las concepciones del alumno originadas por un saber anterior: por ejemplo, el estudio de los decimales debería conducir al alumno a cuestionar la idea de que la multiplicación “agranda” siempre (idea que él ha podido elaborar estudiando los naturales). Del mismo modo, un saber adquirido puede hacerse fracasar fácilmente aun ante mínimas modificaciones de las variables de la situación. 
  2. El rol de la acción en el aprendizaje. Piaget también ha subrayado el rol de “la acción” en la construcción de conceptos. Por supuesto, se trata de la actividad propia del alumno que no se ejerce forzosamente en la manipulación de objetos materiales, sino de una acción con una finalidad, problematizada, que supone una dialéctica pensamientoacción muy diferente de una simple manipulación guiada, tendiente a menudo a una tarea de constatación por parte del alumno.
  3. Sólo hay aprendizaje cuando el alumno percibe un problema para resolver, es decir cuando reconoce el nuevo conocimiento como medio de respuesta a una pregunta. Aquí también podemos recurrir a Piaget, para quien el conocimiento no es ni simplemente empírico (constataciones sobre el medio) ni preelaborado (estructuras innatas), sino el resultado de una interacción sujeto-medio (cf. arriba punto 2). Lo que da sentido a los conceptos o teorías son los problemas que ellos o ellas permiten resolver. Así, es la resistencia de la situación la que obliga al sujeto a acomodarse, a modificar o percibir los límites de sus conocimientos anteriores y a elaborar nuevas herramientas (idea de conflicto cognitivo). Habrá que tener esto en cuenta para la elección de las situaciones. En la misma perspectiva, se tiende a preferir la motivación propia de la actividad propuesta (dificultad que se desea salvar, franquear) a la motivación externa (necesidades de la vida corriente, observaciones) cuyo interés, sin embargo, no se debe descartar: el problema es entonces percibido como un desafilo intelectual.
  4. Las producciones del alumno son una información sobre su "estado de saber". En particular, ciertas producciones erróneas (sobre todo si ellas persisten) no corresponden a una ausencia de saber sino, más bien, a una manera de conocer (que a veces ha servido en otros contextos) contra la cual el alumno deberá construir el nuevo conocimiento. El alumno no tiene jamás la cabeza vacía: no puede ser considerado como una página en blanco sobre la cual será suficiente imprimir conocimientos correctos y bien enunciados.
  5. Los conceptos matemáticos no están aislados. Hay que hablar más bien de campos de conceptos entrelazados entre ellos y que se consolidan mutuamente: de ahí la idea de proponer a los alumnos campos de problemas que permitan la construcción de estas redes de conceptos que conviene elucidar previamente (tarea que pasa a ser fundamental ... ).
  6. La interacción social es un elemento importante en el aprendizaje. Se trata tanto de las relaciones maestro-alumnos como de las relaciones alumnos-alumnos, puestas en marcha en las actividades de formulación (decir, describir, expresar), de prueba (convencer, cuestionar) o de cooperación (ayuda, trabajo cooperativo): idea de conflicto sociocognitivo, sobre todo entre pares. 
En el triángulo docente-alumnos-problema


Trataremos de precisar las características de estas relaciones en el cuadro de un aprendizaje que se apoya en la resolución de problemas. 
  • Relación entre la situación-problema y los alumnos: – La actividad debe proponer un verdadero problema por resolver para el alumno: debe ser comprendido por todos los alumnos (es decir que éstos puedan prever lo que puede ser una respuesta al problema). – Debe permitir al alumno utilizar los conocimientos anteriores...., no quedar desarmado frente a ella. – Pero, sin embargo, debe ofrecer una resistencia suficiente para llevar al alumno a hacer evolucionar los conocimientos anteriores, a cuestionarlos, a elaborar nuevos (problema abierto a la investigación del alumno, sentimiento de desafío intelectual). – Finalmente, es deseable que la sanción (la validación) no venga del maestro, sino de la situación misma.
  • Relación docente-alumno: ¿Qué percepción tiene el alumno de las expectativas del maestro? Las relaciones pedagógicas deben conducir a los alumnos a percibir que les es más conveniente establecer ellos mismos la validez de lo que afirman que solicitar pruebas a los otros. – Una distinción neta debe ser establecida entre los aportes del docente y las pruebas que los alumnos aportan.
  • Relación maestro-situación: – Le corresponde al maestro ubicar la situación propuesta en el cuadro del aprendizaje apuntado, distinguir el objetivo inmediato de los objetivos más lejanos, elegir ciertos parámetros de la situación (idea de “variables didácticas” de la situación). – El conocimiento considerado debe ser el más adaptado para resolver el problema propuesto (desde el punto de vista de los alumnos). – Le corresponde también observar las incomprensiones, los errores significativos, analizarlos y tenerlos en cuenta para la elaboración de nuevas situaciones. – Le corresponde, en fin, provocar o hacer la síntesis.
¿Qué problemas elegir? ¿Qué puesta en marcha pedagógica?

Una precisión ante todo: el término “problema” utilizado aquí no se reduce a la situación propuesta (enunciado-pregunta). Se define, más bien, como una terna: situación-alumno- entorno. Sólo hay problema si el alumno percibe una dificultad: una determinada situación que “hace problema” para un determinado alumno puede ser inmediatamente resuelta por otro (y entonces no será percibida por este último como un problema). Hay, entonces, una idea de obstáculo a superar. Por fin, el entorno es un elemento del problema, en particular las condiciones didácticas de la resolución (organización de la clase, intercambios, expectativas explícitas o implícitas del docente).
Sin duda conviene diferenciar los objetivos de la actividad de resolución de problemas:
– Objetivos de orden “metodológico”: en una palabra, “aprender a resolver problemas, a investigar”. El objetivo está, de alguna manera, en la actividad misma (cf. práctica del “problema abierto” descrito por el IREM de Lyon);
– Objetivos de orden “cognitivo”: se apunta a un conocimiento (noción, algoritmo) a través de la actividad de resolución de problemas. Se puede, entonces, desde este punto de vista, distinguir entre los problemas que se sitúan en la fuente de un nuevo aprendizaje y aquellos que se utilizan como problemas de resignificación. 
Desde esta última óptica, se pueden considerar algunas cuestiones que se le plantean al maestro respecto de un conocimiento dado: 
– Elección de enseñar una determinada concepción del conocimiento considerado (problema de transposición didáctica): ¿cuáles son las concepciones tomadas en cuenta (estado actual de este conocimiento, de su enseñanza, estados anteriores, evolución histórica, diferentes aspectos): cuestiones de epistemología; cuáles son las concepciones posibles con los alumnos de un determinado nivel de enseñanza en relación con los niveles precedentes y siguientes?, ¿de qué tipo de saber se trata (formal, descriptivo u operativo, funcional)?
– Elección de la situación o más bien de la serie de situaciones a proponer a los alumnos. La idea de obstáculo es aquí importante: sin los conocimientos anteriores adecuados para resolver el problema no hay interés por movilizar una nueva herramienta. La elección es difícil: es necesario no desmovilizar al alumno con una dificultad demasiado grande ni dar la impresión de “derribar puertas abiertas con una excavadora”.
– Elección de una puesta en marcha pedagógica. No hay soluciones tipo, pero se puede anticipar con la mayor parte de los didactas actuales una estrategia de referencia que comprenda varias etapas: investigar individualmente y/o en grupos, formular oralmente o por escrito, validar, institucionalizar (identificación del saber, convenciones para el lenguaje, las notaciones), evaluar, proceso que puede extenderse en varias sesiones e incluso utilizar varias situaciones problemas.  

Estrategias para la solución de problemas (George Polya)

En sus estudios, estuvo interesado en el proceso del descubrimiento, o cómo es que se derivan los resultados matemáticos. Advirtió que para entender una teoría, se debe conocer cómo fue descubierta. Por ello, su enseñanza enfatizaba en el proceso de descubrimiento aún más que simplemente desarrollar ejercicios apropiados. Para involucrar a sus estudiantes en la solución de problemas, generalizó su método en los siguientes cuatro pasos:

  1. Entender el problema 
  2. Configurar un plan 
  3. Ejecutar el plan 
  4. Mirar hacia atrás 

Este método está enfocado a la solución de problemas matemáticos, por ello nos parece importante señalar alguna distinción entre "ejercicio" y "problema". Para resolver un ejercicio, uno aplica un procedimiento rutinario que lo lleva a la respuesta. Para resolver un problema, uno hace una pausa, reflexiona y hasta puede ser que ejecute pasos originales que no había ensayado antes para dar la respuesta. Esta característica de dar una especie de paso creativo en la solución, no importa que tan pequeño sea, es lo que distingue un problema de un ejercicio. Sin embargo, es prudente aclarar que esta distinción no es absoluta; depende en gran medida del estadio mental de la persona que se enfrenta a ofrecer una solución: Para un niño pequeño puede ser un problema encontrar cuánto es 3+2. O bien, para niños de los primeros grados de primaria responder a la pregunta ¿Cómo repartes 96 lápices entre 16 niños de modo que a cada uno le toque la misma cantidad? le plantea un problema, mientras que a uno de nosotros esta pregunta sólo sugiere un ejercicio rutinario: "dividir ".
Hacer ejercicios es muy valioso en el aprendizaje de las matemáticas: Nos ayuda a aprender conceptos, propiedades y procedimientos -entre otras cosas-, los cuales podremos aplicar cuando nos enfrentemos a la tarea de resolver problemas.
Como apuntamos anteriormente, la más grande contribución de Polya en la enseñanza de las matemáticas es su Método de Cuatro Pasos para resolver problemas. A continuación presentamos un breve resumen de cada uno de ellos.

Paso 1: Entender el Problema

  1. ¿Entiendes todo lo que dice?
  2. ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?
  3.  ¿Distingues cuáles son los datos?
  4.  ¿Sabes a qué quieres llegar?
  5.  ¿Hay suficiente información?
  6.  ¿Hay información extraña?
  7.  ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?

Paso 2: Configurar un Plan

¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a un final).
  1. Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura). 
  2. Usar una variable.
  3. Buscar un Patrón. 
  4. Hacer una lista.
  5. Resolver un problema similar más simple.
  6. Hacer una figura.
  7. Hacer un diagrama. 
  8. Usar razonamiento directo.
  9. Usar razonamiento indirecto. 
  10. Usar las propiedades de los Números.
  11. Resolver un problema equivalente.
  12. Trabajar hacia atrás.
  13. Usar casos.
  14. Resolver una ecuación
  15. Buscar una fórmula. 
  16. Usar un modelo.
  17. Usar análisis dimensional. 
  18. Identificar sub-metas.
  19. Usar coordenadas. 
  20. Usar simetría.
Paso 3: Ejecutar el Plan
  • Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso.
  • Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que "se te prenda el foco" cuando menos lo esperes!).
  • No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.
Paso 4: Mirar hacia atrás
  • ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?
  • ¿Adviertes una solución más sencilla?
  • ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general? Comúnmente los problemas se enuncian en palabras, ya sea oralmente o en forma escrita. Así, para resolver un problema, uno traslada las palabras a una forma equivalente del problema en la que usa símbolos matemáticos, resuelve esta forma equivalente y luego interpreta la respuesta. Este proceso lo podemos representar como sigue:
Algunas sugerencias hechas por quienes tienen éxito en resolver problemas:

Además del Método de Cuatro Pasos de Polya nos parece oportuno presentar en este apartado una lista de sugerencias hechas por estudiantes exitosos en la solución de problemas:

  1. Acepta el reto de resolver el problema.
  2. Reescribe el problema en tus propias palabras.
  3. Tómate tiempo para explorar, reflexionar, pensar...
  4. Habla contigo mismo. Hazte cuantas preguntas creas necesarias.
  5. Si es apropiado, trata el problema con números simples.
  6. Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes frustrado, no dudes en tomarte un descanso -el subconsciente se hará cargo-. Después inténtalo de nuevo.
  7. Analiza el problema desde varios ángulos.
  8. Revisa tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a empezar
  9. Muchos problemas se pueden de resolver de distintas formas: solo se necesita encontrar una para tener éxito.
  10. No tenga miedo de hacer cambios en las estrategias.
  11. La experiencia en la solución de problemas es valiosísima. Trabaje con montones de ellos, su confianza crecerá.
  12. Si no estás progresando mucho, no vaciles en volver al principio y asegurarte de que realmente entendiste el problema.Este proceso de revisión es a veces necesario hacerlo dos o tres veces ya que la comprensión del problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo de solución.
  13. Siempre, siempre mira hacia atrás: Trata de establecer con precisión cuál fue el paso clave en tu solución.
  14. Ten cuidado en dejar tu solución escrita con suficiente claridad de tal modo puedas entenderla si la lees 10 años después.
  15. Ayudar a que otros desarrollen habilidades en la solución de problemas es una gran ayuda para uno mismo: No les des soluciones; en su lugar provéelos con sugerencias significativas.
  16. ¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa.

lunes, 3 de octubre de 2016

Relación enseñanza-aprendizaje. Dialéctica instrumento-objeto, juego de marcos (Régine Douady)

Proyecto:
“Construir y realizar una enseñanza que ponga en marcha particularmente las hipótesis elaboradas y testear su impacto en la masa de alumnos, a través del desarrollo efectivo del proceso. La eficacia del aprendizaje provocado1, determinado en relación a las expectativas standard ciertas, pero sobre todo de acuerdo con nuestras previsiones, representa para nosotros el índice de un hecho didáctico. Pensamos que hemos extraído parámetros pertinentes de la formación escolar de conocimientos sobre la que ejercimos una acción. Su evidencia constituye para nosotros una validación del conjunto de nuestra gestión”.

A PROPÓSITO DE LA FORMACÓN DE LOS CONOCIMIENTOS 

El proceso general de formación de los conocimientos sería el siguiente: “En cada caso comenzaría por el ejercicio de un esquema inicial de asimilación cuya activación estaría tarde o temprano trabada por perturbaciones: las compensaciones obtenidas se traducirían en una nueva construcción cuyas regulaciones, que caracterizan sus fases, serían a la vez, compensadoras, teniendo en cuenta la perturbación (implicando así la formación al menos virtual de la negación) y formadoras en relación a la construcción, y esto hasta la constitución de una nueva estructura equilibrada y el desarrollo posterior de procesos análogos”. 
La enseñanza tiene la obligación de organizar tan eficazmente como sea posible, un juego de desequilibrios-reequilibrios al nivel de concepciones de los alumnos. Este juego puede evolucionar según los momentos, de manera individual o colectiva. Así, todo el aporte de Piaget, por más importante que sea, es insuficiente para que podamos construir directamente un aprendizaje en clase, cuyos resultados sean previsibles, por lo menos con una gran probabilidad y cuyas condiciones sean reproducibles. Piaget no toca el problema de la relación entre la enseñanza y el aprendizaje, relación que es uno de los temas de estudio de la didáctica de la disciplina enseñada y en el caso de las matemáticas, el de su didáctica.
Frente a ese problema y para responder, al menos en parte, G. Brousseau elaboró una teoría de las situaciones didácticas. Para él, en efecto, las concepciones de los alumnos, son el resultado de un intercambio permanente con las situaciones de problemas en las que son involucrados y en el curso de las cuales los conocimientos anteriores son movilizados para ser modificados, completados o rechazados. Da una clasificación de las situaciones de clase pero no da condiciones sobre los problemas susceptibles de servir eficazmente como contenidos en estas situaciones. Dicho de otro modo, no estudia particularmente las relaciones entre contenidos y situaciones.
Frente al mismo problema de la formación de los conocimientos, G. Vergnaud declara, luego de Piaget en una fórmula esquemática: “la acción es fuente y criterio del saber”. Aquí acción puede querer decir resolución de problemas. Problema tomado en el sentido amplio de situación problemática ubicada en un campo conceptual apropiado. La consideración de tal campo contribuye a dar sentido al problema y a los distintos conceptos en juego. Permite explicar en parte, las conductas de resolución. Además, insistimos, como G. Vergnaud y otros, sobre el rol del tiempo en la construcción de los conocimientos. A menudo son necesarios varios años para construir un concepto. Finalmente todo otro orden de explicación abordado en los trabajos de Y. Chevallard toma en cuenta las convenciones y hábitos en la construcción de los conocimientos.
En cuanto a nosotros, somos proclives, para lograr nuestro objetivo, a proponer realizaciones de aprendizaje en clase. Lo haremos, por una parte apoyándonos sobre la teoría de las situaciones, y por otra, formulando sobre el aprendizaje, hipótesis complementarias a las de Piaget, Vergnaud y otros. 

A PROPÓSITO DE LA ENSEÑANZA 

Las características a considerar para delimitar la enseñanza en tanto que objeto de estudio son de varios órdenes y no obstante imbricadas. Señalaremos tres.


  • Son, por ejemplo, las relativas a la actitud a priori de los niños frente a la escuela, a la existencia de un mínimo de disciplina, de atención, a la disponibilidad de una masa de conocimientos y hábitos en el momento de enfrentar un asunto nuevo, a una cierta administración del tiempo escolar. Sin embargo, la determinación de esos factores y la realización más o menos satisfactoria de las condiciones planteadas, depende, entre otras cosas, de la forma de enseñanza. 
  • Otro orden de características trata del aspecto social del aprendizaje, de las relaciones maestro-alumnos, alumnosalumnos. Otras, que nos servirán para formular nuestras hipótesis, toman sentido en el seno de la enseñanza que describimos. Previamente, precisemos el contexto en el que trabajamos.
  • Los aportes exteriores a la escuela (T.V., amigos, familia, ...), continúan produciéndose a todo lo largo de la escolaridad . Por otra parte, el objetivo del maestro es un objetivo de aprendizaje. Tiene la responsabilidad de conducir al conjunto de alumnos de su clase a disponer de modo eficaz de algunos conocimientos y habilidades. Desde este punto de vista, es responsable ante la Institución, los alumnos, los padres. El objeto de la enseñanza es determinado por la Institución, no por el maestro.
A PROPÓSITO DE LAS MATEMÁTICAS 
  1. Para un concepto matemático, conviene distinguir su carácter “instrumento” y su carácter “objeto”. Por instrumento entendemos su funcionamiento científico en los diversos problemas que permite resolver. Un concepto toma sentido por su carácter “instrumento ”. No obstante, ese carácter pone en juego las relaciones que mantiene con los otros conceptos implicados en el mismo problema. Un instrumento es un instrumento adaptado si interviene en un problema justificando el uso del concepto del cual procede, por eficacia o necesidad. Un instrumento puede ser adaptado a varios tipos de problema. Recíprocamente, varios instrumentos pueden ser adaptados a un mismo problema. No obstante,cada uno tiene un cierto ámbito de validez. Por objeto, entendemos el concepto matemático, considerado como objeto cultural que tiene su lugar en una construcción más amplia que es la del conocimiento inteligente en un momento dado, reconocido socialmente.
  2. En relación con el alumno: Para el alumno, el carácter instrumental puede ser implícito o explícito. Describamos al situación más precisamente. Un alumno es enfrentado a un problema que debe resolver. Esto forma parte de su pacto con el maestro. Sus propias concepciones le permiten poner en juego un procedimiento gracias a nociones y técnicas que sabe utilizar, sobre las cuales puede hacer manifestaciones pero de las que no necesariamente conoce las condiciones de uso y sus límites. El observador exterior puede reconocer que las hipótesis matemáticas que justifican las decisiones del alumno son satisfechas, sin que el alumno esté en condiciones de formularlas. Esas nociones que el observador exterior reconoce, diremos que el alumno las hace funcionar implícitamente, o que pone en marcha instrumentos conceptuales implícitos o, simplemente, instrumentos implícitos. Por el contrario, si el alumno puede formularlas y justificar su empleo diremos que usa instrumentos explícitos. Por otra parte, el dominio de validez de los instrumentos de que dispone el alumno evoluciona en el transcurso de la escolaridad. Por fin, llamaremos “práctica” a todo uso adaptado, por los alumnos, de instrumentos explícitos o implícitos, sea que esos instrumentos hayan sido objeto de institucionalización o no.
A PROPÓSITO DE LAS RELACIONES ENTRE MATEMÁTICAS, ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE

Recordemos que, para nosotros, tener conocimientos en matemáticas es ser capaz de provocar el funcionamiento como instrumentos explícitos adaptados en problemas que les dan el sentido - con o sin énfasis en la formulación del problema.
Dicho de otro modo, adoptamos un punto de vista dinámico frente al conocimiento en matemática. En estas condiciones, una enseñanza es eficaz en la medida en que da lugar, en el alumno, a adquisiciones, en el sentido precedente, de conocimientos matemáticos. 
  • Objetos de saber - objetos de enseñanza: Y. Chevallard introdujo, el concepto de transposición didáctica (Ch.1) para informar sobre la transformación necesaria operada sobre los conocimientos elegidos para ser enseñados antes de que estos saberes puedan ser efectivamente enseñados. Los matemáticos aseguran la creación matemática según una génesis que depende esencial (pero no solamente) de los problemas a resolver. La escuela desarrolla una génesis artificial diferente, habida cuenta de las coacciones a las que está sometida: por ejemplo, la presión del tiempo, la complejidad del campo científico y los problemas con el origen de la noción descontextualizada elegida para ser enseñada y la recontextualización artificial a la que se la conduce antes del despojo recuperado. Las convenciones sociales, los textos oficiales-programas, instrucciones, comentarios- los libros escolares ejercen una presión determinante sobre esta transformación. Ahora bien, esos textos “ampliamente marcados por una concepción deductivista en el andar de la matemática” son poco propicios a una construcción de conocimientos eficaz para resolver los problemas. Para nosotros, un objeto de enseñanza debe ser “fiel” al objeto de saber al cual corresponde. Para ello, debe tener las siguientes características: a) el concepto subyacente es un instrumento adaptado a los problemas elegidos para los alumnos. (Dicho de otro modo, las propiedades esenciales que los científicos utilizan son mantenidas en los problemas del alumno). b) La diversidad de los aspectos que entran en juego en la significación del concepto está convenientemente representada en el conjunto de los problemas retenidos.
  • Objetos reales - objetos de enseñanza - Representaciones: El comienzo de la enseñanza de las matemáticas corresponde a una modelización de lo real: el espacio ambiente y los objetos reales desplazables. El niño puede actuar sobre el mundo real y modificarlo. Puede no ser capaz de tener una visión global instantánea.Un rol de las representaciones es el de dar cuenta de esta globalidad, reteniendo sólo una parte bien elegida de la información, de modo de tener una disponibilidad permanente. Haciendo esto, se liga a los significados primitivos (objetos reales), los significantes (representaciones, relaciones ...). A las huellas escritas de esos significantes se unen nuevos significados de un nuevo espacio, el de las representaciones. No se consideran aquí las razones de la elección de los significados contenidos en la enseñanza.
  • Pedagogía corriente:  Esta pedagogía utiliza esencialmente y en orden invariable el método “aprendo, aplico”. Se trata en efecto de una representación de nociones matemáticas que el alumno debe aprender, seguida de problemas o ejercicios de aplicación fabricados para que el alumno pueda utilizar lo que aprendió sin transformación. Además, debe hacerlo según reglas de juego que no siempre son explicitadas pero que sirven de referencia para evaluar su trabajo. A menudo el maestro “muestra” y el alumno sólo tiene que “hacer lo mismo”. Se sabe que para la mayoría de los alumnos, esta pedagogía no conduce a una construcción de conocimientos. En fin, los conceptos son generalmente presentados en un cierto marco y las aplicaciones requeridas no salen de allí. Esto hace difíciles, por una parte, las interacciones de los diferentes marcos de intervención del concepto y, por otra, la articulación con otros conceptos.
  • Otra organización de la enseñanza de las matemáticas: Para construir una enseñanza diferente, restituyendo su sentido a los instrumentos que los alumnos utilizan, asegurando a los objetos correspondientes una presentación institucional, debemos caracterizar otra organización de la enseñanza. En esta organización, el enseñante tiene en cuenta oficialmente la construcción del saber de los alumnos por los alumnos mismos. Esta organización está fundada desde el punto de vista cognoscitivo, sobre tres puntos: la dialéctica instrumento-objeto; la dialéctica viejo-nuevo; el juego de marcos. Desde el punto de vista de los intercambios del alumno con el medio en el seno del cual evoluciona, la organización se apoya en las tres formas de dialéctica (acción, formulación, validación) y también sobre las intervenciones del enseñante en momentos bien elegidos por él. Finalmente, desde el punto de vista del contrato didáctico, la organización necesita una institucionalización de conocimientos y un medio para que el alumno controle por sí su aprendizaje. 
DIDÁCTICA INSTRUMENTO-OBJETO  

El funcionamiento de la dialéctica instrumento-objeto está caracterizada por la organización esquemática siguiente:

Dado un problema inicial:

Fase a) “antiguo”:

La primera etapa consiste en la puesta en marcha de un objeto conocido como instrumento explícito para iniciar un procedimiento de resolución del problema o por lo menos de una parte del problema. Es decir, se moviliza lo “antiguo” para resolver parcialmente el problema.

Fase b) búsqueda:
En la 2da. etapa, el alumno encuentra dificultades para resolver completamente su problema; ya sea porque su estrategia es muy costosa (en cantidad de operaciones, en riesgo de errores, en incertidumbre sobre el resultado ...) o porque esta estrategia no funciona más. Se orienta al alumno para que busque otros medios mejor adaptados a su situación. Reconocemos allí el comienzo de una fase de acción. El alumno puede entonces poner en macha implícitamente instrumentos nuevos, por la extensión del campo de validez, o por su naturaleza misma.
Desde la óptica de los alumnos, las concepciones en juego (si es posible colectivamente) en ese momento, entrarán en conflicto o en resonancia con las antiguas. Los errores o contradicciones pueden convertirse en las posturas de procesos dialécticos de formulación y validación para resolver los conflictos y asegurar las integraciones necesarias. Pero puede ser también que convicciones contradictorias queden sin respuesta siendo fecundas.
Fase c) explicitación:
En la etapa anterior algunos elementos tuvieron un rol importante, casi decisivo y son susceptibles de ser apropiados para ese momento del aprendizaje. Están formulados en términos de objetos o en términos de prácticas; con su condición de empleo circunstancial. Se trata de “nuevo explícito” susceptible de reempleo y familiarización.

INTERVENCIÓN DEL MAESTRO 

Puede suceder que durante el transcurso de las fases b) o c), el maestro se de cuenta de que la situación peligra con bloquearse si no interviene o que lo descubra demasiado tarde y tenga que desbloquearla. Según su análisis de la situación didáctica, debe tomar la decisión de intervenir o no, y si es necesario, tendrá que elegir el momento y la forma de la intervención respetando la libertad de acción de los alumnos (incertidumbre).
Fase d) institucionalización:
El maestro pasa, desde ese momento, a una etapa de institucionalización de lo que es nuevo y retiene con las convenciones en curso, eventualmente definiciones, teoremas y demostraciones. Esto nuevo que se retiene está destinado a funcionar, posteriormente como antiguo.
Fase e) Familiarización – reinversión
A continuación damos a los alumnos diversos problemas destinados a provocar el funcionamiento como instrumentos explícitos de lo que ha sido institucionalizado, a desarrollar hábitos y destrezas, a integrar el saber social con el saber del alumno. Esos problemas simples o complejos sólo ponen en juego lo conocido.
Fase f = a) complejidad de la tarea o nuevo problema:
Quedan por utilizar los nuevos conocimientos dentro de una situación compleja que implica otros conceptos conocidos o buscados por el aprendizaje.
El nuevo objeto es susceptible de convertirse en antiguo para un nuevo ciclo de la dialéctica instrumento-objeto.

OBSERVACIONES 

Si la colectividad “clase” resuelve el problema, todos no reaccionarán individualmente de la misma manera, frente al saber contenido en el problema, frente a conocimientos- instrumentos movilizados. En las situaciones de comunicación, el saber se difunde diversamente según los alumnos. Oficializar algunos conocimientos que sólo han sido útiles, darles categoría de objeto matemático es una condición de homogeneización de la clase y para cada uno una manera de jalonar su saber y por ende, de asegurar su progresión. Esta es la función principal de las situaciones de institucionalización. Otra función es la de integrar el saber social, los hábitos y las convenciones con el saber del alumno. Además, la estructuración personal del saber es de vital importancia en matemática para que exista efectivamente saber. Esta estructuración ha estado muy comprometida en el proceso desarrollado. No obstante, para perfeccionarla, el alumno tiene  ecesidad de poner a prueba eventualmente en renovados ensayos, solo, los conocimientos que cree haber adquirido y determinar lo que sabe. Ésta es la función de los ejercicios.

JUEGOS DE MARCO 

El juego de marcos traduce la intención de explotar el hecho de que la mayoría de los conceptos puede intervenir en distintos dominios, diversos marcos físico, geométrico, numérico, gráfico u otros. Para cada uno de ellos se traduce un concepto en términos de objetos y relaciones que podemos llamar los significados del concepto en el marco. Los significantes que tiene asociados pueden eventualmente simbolizar otros conceptos en el marco de los significados. Es el caso de representaciones gráficas de funciones y de representaciones en el plano, de conjuntos de elementos materiales; algebraicos u otros, cuyas propiedades geométricas, topológicas o combinatorias podemos estudiar. Esto se obtiene de las correspondencias entre significados de un mismo concepto en marcos diferentes, por un lado, y entre significados de conceptos diferentes representados en el mismo marco por los mismos significantes, por otro. Pero, para los alumnos en tren de aprendizaje, los conceptos funcionan de manera parcial y diferente según los marcos. Por consiguiente, las correspondencias están incompletas.

INTERVENCIÓN DEL ENSEÑANTE 

La gestión hecha por el maestro, en el momento de balances locales y ejercicios que se apoyan en las producciones de los alumnos durante sus búsquedas, los diferentes cambios de marcos realizados por los alumnos, los recuerdos y balances globales que el maestro organiza y anima son otros tantos medios de difusión de los conocimientos dentro de la clase. Esos momentos se sitúan en el transcurso de la fase b), para prever o superar un bloqueo eventualmente local, o en el curso de las fases c) o e).

CONDICIONES SOBRE LOS PROBLEMAS SUSCEPTIBLES DE COMPROMETER UNA D.I.O (DIALÉCTICA INSTRUMENTO-OBJETO)

Quedan por expresar algunas condiciones sobre los problemas para que ciertas relaciones del alumno con el problema estén aseguradas, y que la dialéctica instrumento-objeto y el juego de marcos sean posibles. Enunciamos las condiciones que hemos conservado
a) El enunciado tiene sentido en el campo de conocimientos del alumno.
b) El alumno debe poder considerar lo que puede ser una respuesta al problema. Esto es independiente de su capacidad para concebir una estrategia de respuesta o una validación de una proposición de respuesta.
c) Teniendo en cuenta sus conocimientos, el alumno puede emprender un procedimiento. Pero la respuesta no es evidente. Esto quiere decir que no puede suministrar una respuesta completa sin desarrollar una argumentación que lo conduzca a preguntas que no sabe responder inmediatamente.
d) El problema es rico. Lo que significa que la red de los conceptos implicados es bastante importante, pero no demasiado para que el alumno pueda administrar su complejidad, si no solo, por lo menos en equipo o dentro de la colectividad clase.
e) El problema está abierto 8 por la diversidad de preguntas que el alumno puede plantear o por la variedad de estrategias que puede poner en marcha y por la incertidumbre que se desprende con respecto al alumno.
Las condiciones c), d), e), eliminan un recorte del problema en preguntas demasiado pequeñas.
f) El problema puede formularse en dos marcos diferentes, teniendo cada uno su lenguaje y su sintaxis y cuyos significados constituyentes forman parte, parcialmente, del campo de conocimientos del alumno.
g) El conocimiento buscado por el aprendizaje es el medio científico de responder eficazmente al problema. Es un instrumento adaptado.

NUESTRAS HIPÓTESIS 

La organización que proponemos, por su carácter interactivo (instrumento-objeto, cambios de marcos...), obliga al alumno a tratar una información a menudo abundante, que emana de varias fuentes y que se expresa indistintamente, con correspondencias (voluntariamente) parciales entre los diversos modos de expresión.
La situación es por construcción, motivo de desequilibrio. La búsqueda para mejorar las correspondencias y la argumentación desarrollada con este fin, son medios de reequilibración.
Esto nos conduce a plantear las siguientes hipótesis:
a) Podemos construir efectivamente conocimientos haciendo jugar la dialéctica instrumento-objeto en dos marcos, por lo menos, respetando sin embargo los umbrales de dos tipos:
-Existe una masa crítica heterogénea de conocimientos antiguos y de hábitos, culturales y técnicos (los pre requeridos) bajo forma de instrumentos explícitos en un campo conceptual dado que permita al alumno adentrarse en la resolución de un problema relevante de ese campo y por consiguiente, comprometer la dialéctica instrumento-objeto.
-Existe un umbral crítico de interrogación debajo del cual la reflexión no se conecta (condiciones 1), 2) y 3). Relaciones alumno-problema).
b) La realización de las condiciones descriptas en a) supone otra hipótesis: para un determinado número de objetos matemáticos podemos encontrar problemas que solicitan dos o tres marcos entre los cuales una dinámica es posible y susceptible de crear la dialéctica instrumento-objeto. Tal vez esto sirva para relacionar la eficacia a la hipótesis a).
c) Hay una masa crítica de conocimientos a adquirir por el proceso descrito en a).
-gracias a lo cual es posible integrarlos con otros conocimientos adquiridos de otro modo, por ejemplo, por medio de la mecánica objeto-instrumento y que funcionarán eficazmente, debajo de lo cual el “aprendo-aplico” es ineficaz par la mayoría de los alumnos.
d) Para realizar una enseñanza que tome en cuenta las hipótesis anteriores, falta precisar la articulación entre la dialéctica instrumento-objeto y su gestión en el marco de la clase. Al maestro le cabe toda la responsabilidad. De allí la necesidad de plantear otra hipótesis:
-Podemos formar maestros capaces de poner en marcha la dialéctica instrumento-objeto.
De hecho, hay otras dificultades en lo que respecta al maestro y en la relación ternaria maestroalumno- saber.

PUNTO DE VISTA DEL ENSEÑANTE - INCERTIDUMBRE DEL ENEÑANTE Y DEL ALUMNO 

Casi todas las experiencias que se apoyan en las hipótesis formuladas precedentemente revelaron, en cuanto a los enseñantes, un atractivo y un malestar para poner en marcha el tipo de enseñanza que ambicionan. La inclinación se explica por el hecho de que el maestro está convencido de la importancia de la actividad del alumno en la adquisición de sus conocimientos.
Por otra parte, el maestro tiene un contrato con la institución escolar, con los padres, con los alumnos. Este contrato lo compromete a asegurar y aún a garantizar la progresión del saber de los alumnos y por lo mismo le impone presiones. Más precisamente, el enseñante tiene la tarea de guiar a los alumnos de su clase, en su conjunto (y no a un reducido número de ellos), de un estado supuesto de conocimientos, caracterizado por un grupo de conceptos y relaciones (entre conceptos), a otro estado de conocimientos caracterizado por otro grupo. El trabajo cognoscitivo del alumno consiste entonces en crear el nuevo grupo con la ayuda del maestro y también de sus propias adquisiciones (las que no son únicamente producciones de la escuela) y, circunstancialmente contra sus concepciones primitivas. La progresión del saber a mediano y largo plazo está establecida por la institución (programas) y el maestro en su totalidad debe respetarla. Para eso debe prever y organizar la progresión a corto término entre dos marcos impuestos. Se tranquiliza si su progresión efectivamente realizada a corto plazo, respeta sus previsiones.
Pero el maestro ¿puede garantizar que los alumnos, en su conjunto lo haya seguido en su progresión y haya alcanzado el objetivo propuesto?. Para que los alumnos puedan alcanzar su tarea de aprendizaje, el docente debe transmitirles el deseo de aprender y convencerlos de que, con su ayuda, ellos podrán lograrlo. No podemos olvidar que la percepción que los alumnos tienen del maestro es para éste un elemento importante en sus elecciones didácticas. Establece un equilibrio entre las distintas presiones (de toda naturaleza) en las que está inmerso. Nuestras hipótesis conducen a un cambio de esta percepción. Un desequilibrio y un malestar se desencadenan mientras llega el establecimiento de un nuevo equilibrio. Admitimos que el docente prevé, en su progresión, una fase de acción. Para que la acción sea real, es necesario que el alumno tome iniciativas, haga elecciones entre posibilidades diversas, que pueda plantear preguntas anexas y relacionar jalones intermediarios pertinentes para su problema. Recordemos oportunamente que la acción es eficaz si el alumno tiene un control sobre los efectos producidos; esto le permite modificar las condiciones de producción cuando los efectos no son los esperados.
En cuanto a la trayectoria cognoscitiva de cada alumno, el maestro, inevitablemente, asistirá a una incertidumbre que tiene consecuencias:
-Primeramente es una duda sobre los contenidos que podrá institucionalizar y sobre el momento de su institucionalización. En efecto, hay que prever otro ordenamiento del tiempo escolar, por ejemplo para una cuestión dada, una prolongación del tiempo de trabajo del alumno a corto plazo.
-Es también una incertidumbre con respecto a la evaluación de los alumnos, es decir, sobre el control de su aprendizaje. Es su responsabilidad de enseñante la que está en juego.
Por todas estas razones, el malestar evidenciado no nos sorprende. Señalemos, sin embargo, que hemos encontrado enseñantes completamente cómodos en lo que hace al control de esas situaciones de aprendizaje.
En resumen, para que el conjunto de alumnos de una clase alcance un objeto cognoscitivo fijado por el maestro, éste debe resolver una contradicción:
-si a priori establece una manera de alcanzarlo, no tiene ninguna garantía de que los alumnos lo sigan;
-si sigue a los alumnos, corre el riesgo de perder el control del objetivo apuntado.
Cualquiera sea el sistema elegido de enseñanza, el enseñante en posición de control de uno de los polos, pierde el control del otro. Surge entonces una duda cuya magnitud depende de la elección:
-Para el maestro ¿Qué curso debe hacer? ¿Qué conocimientos han adquirido los alumnos? ¿Qué situaciones controlan los alumnos con los conocimientos adquiridos?
-Para el alumno: “¿Sabré resolver los problemas que se me plantearán?”
Observemos que no hay más vacilaciones si el alumno se encuentra en la fase de acción donde no está obligado a dar una respuesta final. Si bien es cierto que la progresión del saber del alumno no puede hacerse en forma continuada, el enseñante está obligado a variar entre lo que el alumno conoce y desconoce. Esto nos conduce a formular una suerte de “principio de duda”.
Formulamos la hipótesis de que todo sistema de enseñanza comporta una duda: para los alumnos si el polo “curso” está favorecido, para el maestro: si lo está el polo “acción”. Nuestras proposiciones de enseñanza vienen a distribuir en el tiempo la duda entre el maestro y el alumno. En relación a la pedagogía “cursoejercicio”, provocan así un desplazamiento de la duda y por consiguiente del malestar del alumno (en cuanto a sus adquisiciones) hacia el maestro (en cuanto al desarrollo del tiempo del saber).
Para el alumno como para el maestro, la duda sólo es aceptable si puede ser controlada. El maestro la controla gracias a las fases de institucionalización en cuyo transcurso fija el saber que todos deben tener en común, en la clase. Controla los conocimientos y medios de acción de los alumnos por medio de ejercicios y problemas que les hace hacer. Además la dialéctica instrumento-objeto y los juegos de marcos, por la superabundancia de información y la necesidad de coherencia que provocan, dan al alumno medios de control y de modificación de la situación. Pero para insertarse la dialéctica instrumento-objeto necesita que los alumnos dispongan de cierta libertad de acción, lo que autoriza el sistema. Los problemas y ejercicios representan para el alumno, la ocasión de familiarizarse con el saber institucionalizado, de controlar sus adquisiciones y así determinar su estructuración personal. También el alumno domina su inseguridad.
Este hecho de la inseguridad, tanto para el maestro como para el alumno, es un elemento importante en las relaciones enseñanza-aprendizaje. Por eso la formación de los maestros debería comprender también el estudio de esa gestión, especialmente de los medios para recuperar el control de la situación didáctica respetando la duda.
Resumiendo, todas nuestras iniciativas apuntan a crear desequilibrios, pero de modo tal que los alumnos puedan participar activamente en su propio reequilibrio dentro del plano cognoscitivo. Con tal motivo, actuamos sobre los contenidos (dialéctica instrumento-objeto; juego de marcos), o sobre las relaciones sociales (situaciones de comunicación, conflictos socio-cognoscitivos ...).
Debemos destacar que existen, sin duda, condiciones extra-cognoscitivas necesarias para que la reequilibración sea posible para y por el alumno. Citemos, a título de ejemplo, las condiciones relativas a las relaciones de fuerza entre los alumnos dentro de un grupo de trabajo (ya se trate de un pequeño equipo o de toda la clase), a las relaciones afectivas entre el maestro y los alumnos, al interés que manifiestan los padres por el trabajo de sus hijos, etc..